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    2．复合函数单调性的判断 对于函数和.如果在区间上是具有单调性.当时..且在区间上也具有单调性.则复合函数在区间具有单调性的规律见下表: 增 ↗ 减 ↘ 增 ↗ 减 ↘ 增 ↗ 减 ↘ 增 ↗ 减 ↘ 减 ↘ 增 ↗ 以上规律还可总结为:“同向得增.异向得减 或“同增异减 . 证明:①设.且 ∵在上是增函数. ∴.且 ∵在上是增函数.∴. 所以复合函数在区间上是增函数 ②设.且.∵在上是增函数. ∴.且 ∵在上是减函数.∴. 所以复合函数在区间上是减函数 ③设.且.∵在上是减函数. ∴.且 ∵在上是增函数.∴. 所以复合函数在区间上是减函数 ④设.且.∵在上是减函数. ∴.且 ∵在上是减函数.∴. 所以复合函数在区间上是增函数 例2．求函数的值域.并写出其单调区间 解:题设函数由和复合而成的复合函数. 函数的值域是. 在上的值域是. 故函数的值域是. 对于函数的单调性.不难知二次函数在区间上是减函数.在区间上是增函数, 二次函数区间上是减函数.在区间上是增函数 当时..即.或. 当时..即.. 因此.本题应在四个区间...上考虑 ① 当时.. 而在上是增函数.在上是增函数.所以.函数在区间上是增函数 ②当时.. 而在上是增函数.在上是减函数. 所以.函数在区间上是减函数 ③当时.. 而在上是减函数.在上是减函数. 所以.函数在区间上是增函数 ④当时.. 而在上是增函数.在上是减函数.所以.函数在区间上是减函数 综上所述.函数在区间.上是增函数,在区间.上是减函数 另外.本题给出的复合函数是偶函数.在讨论具有奇偶性的函数的单调性时.应注意应用其奇函数或偶函数的性质.以使解题过程简捷.清楚.具有条理性 【查看更多】

     

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