15．已知定义域为R的二次函数f(x)的最小值为0且有f(1+x)＝f(1-x).直线g(x)＝4(x-1)被f(x)的图象截得的弦长为4.数列{an}满足a1＝2.(an+1-an)·g(an)+f(an)＝0(n∈N*)． (1)求函数f(x), (2)求数列{an}的通项公式, (3)设bn＝3f(an)-g(an+1).求数列{bn}的最值及相应的n. 解:(1)设f(x)＝a(x-1)2(a>0). 则直线g(x)＝4(x-1)与y＝f(x)图象的两个交点为(1,0).. ∵＝4(a>0). ∴a＝1.f(x)＝(x-1)2. (2)f(an)＝(an-1)2.g(an)＝4(an-1). ∵(an+1-an)·4(an-1)+(an-1)2＝0. ∴(an-1)(4an+1-3an-1)＝0. ∵a1＝2.∴an≠1,4an+1-3an-1＝0. an+1-1＝(an-1).a1-1＝1. 数列{an-1}是首项为1.公比为的等比数列. ∴an-1＝n-1.an＝n-1+1. (3)bn＝3(an-1)2-4(an+1-1) ＝32-4n ＝3 令bn＝y.u＝n-1.则 y＝3＝32-. ∵n∈Z*.∴u的值分别为1....-.经比较距最近.∴当n＝3时.bn有最小值是-. 当n＝1时.bn有最大值是0. 【
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