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    10．已知抛物线y2＝4px(p＞0).O为顶点.A.B为抛物线上的两动点.且满足OA⊥OB.如果OM⊥AB于M点.求点M的轨迹方程． 分析:点M随着A.B两点的变化而变化.点M是OM与AB的交点.而A.B为抛物线上的动点.点M与A.B的直接关系不明显.因此需引入参数． 解法一:设M(x0.y0).则kOM=.kAB=-. 直线AB方程是y=-(x-x0)+y0． 由y2=4px可得x=.代入上式整理得 x0y2-(4py0)y-4py02-4px02=0． ① 此方程的两根y1.y2分别是A.B两点的纵坐标. ∴A(.y1).B(.y2)． ∵OA⊥OB.∴kOA·kOB=-1． ∴·=-1．∴y1y2=-16p2． 根据根与系数的关系.由①可得 y1·y2=. ∴=16p2． 化简.得x02+y02-4px0=0. 即x2+y2-4px=0为所求． ∴点M的轨迹是以(2p.0)为圆心.以2p为半径的圆.去掉坐标原点． 解法二:设M(x.y).直线AB方程为y=kx+b. 由OM⊥AB得k=-． 由y2=4px及y=kx+b消去y.得 k2x2+x(2kb-4p)+b2=0． 所以x1x2=．消去x.得ky2-4py+4pb=0． 所以y1y2=．由OA⊥OB. 得y1y2=-x1x2. 所以=-.b=-4kp． 故y=kx+b=k(x-4p)． 用k=-代入.得 x2+y2-4px=0(x≠0)． 解法三:设点M的坐标为(x.y).直线OA的方程为y=kx. 解得A点的坐标为(.). 显然k≠0.则直线OB的方程为y=-x． 由 y=kx. y2=4px. 类似地可得B点的坐标为(4pk2.-4pk). 从而知当k≠±1时. kAB==． 故得直线AB的方程为y+4pk=(x-4pk2). 即(-k)y+4p=x. ① 直线OM的方程为y=-(-k)x． ② 可知M点的坐标同时满足①②. 由①及②消去k便得4px=x2+y2. 即(x-2p)2+y2=4p2.但x≠0. 当k=±1时.容易验证M点的坐标仍适合上述方程． 故点M的轨迹方程为(x-2p)2+y2=4p2(x≠0). 它表示以点(2p.0)为圆心.以2p为半径的圆． [探索题] 已知点,是抛物线上的两个动点,是坐标原点,向量,满足．设圆的方程为 (I)证明线段是圆的直径; (II)当圆C的圆心到直线x-2y=0的距离的最小值为时.求P的值. (I)证法一:∵. ∴. 即. 整理得． ∴ 1 设点是以线段为直径得圆上得任意一点.则 即 展开上式并将1带入得 故线段是圆的直径． 证法二:同法一得: 1 以 AB 为直径的圆的方程是 . 展开.并将①代入得 所以线段 AB 是圆 C 的直径 (II)解法一:设圆的圆心为则 ∵ ∴ 又∵＝0 ∴ ∴ ∵.∴, ∴ ∴ . 所以圆心的轨迹方程为: 设圆心到直线 的距离为.则 当时.有最小值.由题设得.∴ 解法二:同法一得:圆心的轨迹方程为: 设直线与的距离为.则 当与仅有一个公共点时. 该点到的距离最小.最小值为. 由 ② ③ 消x得. 由 得 (∵) 解法三:设圆的圆心为.则 若圆心到直线的距离为.那 ∵ ∴ 又∵. . ∵.∴ ∴ 当时.有最小值.由题设得. ∴ 【查看更多】

     

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