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    1．山东省莱芜市2008届高三年级期末考试 如图.在三棱锥S-ABC中.SC⊥平面ABC.点P.M分别是SC和SB的中点.设PM=AC=1.∠ACB=90°.直线AM与直线SC所成的角为60°. (1)求证:平面MAP⊥平面SAC. 求二面角M-AC-B的平面角的正切值, (理)求二面角M-AB-C的平面角的余弦值, 求多面体PMABC的体积. (理)求AP和CM所成角的余弦值. 解:(I)∵SC⊥平面ABC.SC⊥BC.又∵∠ACB=90° ∴AC⊥BC.AC∩SC=C.BC⊥平面SAC.----1分 又∵P.M是SC.SB的中点 ∴PM∥BC.PM⊥面SAC.∴面MAP⊥面SAC.----1分 ∵AC⊥平面SAC.∴面MAP⊥面SAC.----3分 ∴AC⊥CM.AC⊥CB.从而∠MCB为二面角M-ACB的平面角. ∵直线AM与直线PC所成的角为60° ∴过点M作MN⊥CB于N点.连结AN. 则∠AMN=60°.--------4分 在△CAN中.由勾股定理得 在Rt△AMN中. =------6分 在Rt△CNM中. 故二面角M-AB-C的正切值为.----------8分 如图以C为原点建立如图所示空间直角坐标系C-xyz. 则 --------4分 设平面MAB的一个法向量为.则 由 取z=--------6分 取平面ABC的一个法向量为 则 由图知二面角M-AB-C为锐二面角. 故二面角M-AB-C的余弦值为------8分 其他方法可参考本解法相应给分. 多面体PMABC就是四棱锥A-BCPM VPMABC=BA-PMBC= ------12分 ------9分 ∴AP与CM所成角的余弦值为------12分 【查看更多】

     

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