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    6．(山东省烟台市2008年高三适应性练习如图.平面PAD⊥平面ABCD.ABCD为正方形.∠PAD=90°.且PA=AD=2.E.F.G分别是线段PA.PD.CD的中 点. (1)求证:PB//平面EFG, (2)求异面直线EG与BD所成的角的余弦值, (3)在线段CD上是否存在一点Q.使得点A到平面EFQ的距离为.若存在.求出CQ的值,若不存在.请说明理由. [解析]本题考查线面平行的证明.和异面直线所成角的求法.及点面距离的求解.理科生应学会利用空间向量解决问题. [答案]解法一:(1)证明:取AB为中点H.连结GH.HE. ∵E.F.G分别是线段PA.PD.CD的中点. ∴GH//AD//EF. ∴E.F.G.H四点共面. 又H为AB中点. ∴EH//PB. 又EH面EFG.PB平面EFG. ∴PB//面EFG. (2)解:取BC的中点M.连结GM.AM.EM.则GM//BD. ∴∠EGM就是异面直线EG与BD所成的角. 在Rt△MAE中. 同理 ∴在Rt△MGE中. 故异面直线EG与BD所成角的余弦值为 (3)假设在线段CD上存在一点Q.满足题设条件.过点Q作OR⊥AB于R.连结RE.则QR//AD. ∵ABCD是正方形.△PAD是直角三角形 .且PA=AD=2. ∴AD⊥AB.AD⊥PA 又ABPA=A. ∴AD⊥平面PAB. 又∵E.F分别是PA.PD中点. ∴EF//AD. ∴EF⊥平面PAB 又EF面EFQ. ∴EFQ⊥平面PAB. 过A作AT⊥ER于T.则AT⊥面EFQ. ∴AT就是点A到平面EFQ的距离. 设 在Rt△EAR中.AT 解得. 故存在点Q.当时.点A到平面EFQ的距离为 解法二:建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz. 则A.C. D.E. F. (1)证明:∵ 设 即+t 解得s=t=2 ∴ 又∵ ∴共面. ∵ ∴PB//平面EFG. (2)解∵ ∴ 故平面直线EG与BD所成角的余弦值为 (3)假设在线段CD上存在一点Q满足题设条件. 令.则DQ=2-m ∴点Q的坐标为() ∴ 而.则 ∴ 令 又 ∴点A到平面EFQ的距离 即 ∴不合题意.舍去. 故存在点Q.当点A到平面EFQ的距离为 【查看更多】

     

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