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    已知函数其中n∈N*,a为常数. (Ⅰ)当n=2时.求函数f(x)的极值, (Ⅱ)当a=1时.证明:对任意的正整数n,当x≥2时.有f(x)≤x-1. (Ⅰ)解:由已知得函数f(x)的定义域为{x|x＞1}. 当n=2时. 所以 (1)当a＞0时.由f(x)=0得 ＞1.＜1. 此时 f′(x)=. 当x∈(1.x1)时.f′(x)＜0,f(x)单调递减, 当x∈(x1+∞)时.f′(x)＞0, f(x)单调递增. (2)当a≤0时.f′(x)＜0恒成立.所以f(x)无极值. 综上所述.n=2时. 当a＞0时.f(x)在处取得极小值.极小值为 当a≤0时.f(x)无极值. (Ⅱ)证法一:因为a=1,所以 当n为偶数时. 令 则 g′(x)=1+＞0(x≥2). 所以当x∈[2,+∞]时.g(x)单调递增. 又 g(2)=0 因此≥g(2)=0恒成立. 所以f(x)≤x-1成立. 当n为奇数时. 要证≤x-1,由于＜0.所以只需证ln(x-1) ≤x-1, 令 h(x)=x-1-ln(x-1), 则 h′(x)=1-≥0(x≥2), 所以 当x∈[2.+∞]时.单调递增.又h(2)=1＞0. 所以当x≥2时.恒有h(x) ＞0,即ln(x-1)＜x-1命题成立. 综上所述.结论成立. 证法二:当a=1时. 当x≤2.时.对任意的正整数n.恒有≤1. 故只需证明1+ln(x-1) ≤x-1. 令 则 当x≥2时.≥0.故h(x)在上单调递增. 因此 当x≥2时.h(x)≥h(2)=0.即1+ln(x-1) ≤x-1成立. 故 当x≥2时.有≤x-1. 即f(x)≤x-1. 【查看更多】

     

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