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    构造函数证明不等式. 典型例题 例7．函数的定义域为开区间.导函数在内的图象如图所示.则函数在开区间内有极小值点( ) A．1个 B．2个 C．3个 D． 4个 [考查目的]本题主要考查函数的导数和函数图象性质等基础知识的应用能力. [解答过程]由图象可见,在区间内的图象上有一个极小值点. 故选A. 例8 .设函数在及时取得极值． (Ⅰ)求a.b的值, (Ⅱ)若对于任意的.都有成立.求c的取值范围． 思路启迪:利用函数在及时取得极值构造方程组求a.b的值． 解答过程:(Ⅰ). 因为函数在及取得极值.则有.． 即 解得.． 可知.. ． 当时., 当时., 当时.． 所以.当时.取得极大值.又.． 则当时.的最大值为． 因为对于任意的.有恒成立. 所以 . 解得 或. 因此的取值范围为． 例9.函数的值域是 . 思路启迪:求函数的值域.是中学数学中的难点.一般可以通过图象观察或利用不等式性质求解.也可以利用函数的单调性求出最大.最小值.此例的形式结构较为复杂.采用导数法求解较为容易. 解答过程:由得..即函数的定义域为. . 又. 当时.. 函数在上是增函数.而.的值域是. 例10．已知函数.其中为参数.且． (1)当时.判断函数是否有极值, (2)要使函数的极小值大于零.求参数的取值范围, 中所求的取值范围内的任意参数.函数在区间内都是增函数.求实数的取值范围． [考查目的]本小题主要考查运用导数研究三角函数和函数的单调性及极值.解不等式等基础知识.考查综合分析和解决问题的能力.以及分类讨论的数学思想方法. [解答过程](Ⅰ)当时..则在内是增函数.故无极值. (Ⅱ).令.得. 由(Ⅰ).只需分下面两种情况讨论. ①当时.随x的变化的符号及的变化情况如下表: x 0 + 0 - 0 + ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 因此.函数在处取得极小值.且. 要使.必有.可得. 由于.故. ②当时.随x的变化.的符号及的变化情况如下表: + 0 - 0 + 极大值 极小值 因此.函数处取得极小值.且 若.则.矛盾.所以当时.的极小值不会大于零. 综上.要使函数在内的极小值大于零.参数的取值范围为. 知.函数在区间与内都是增函数. 由题设.函数内是增函数.则a须满足不等式组 或 由(II).参数时时..要使不等式关于参数恒成立.必有.即. 综上.解得或. 所以的取值范围是. 例11．设函数f(x)=ax-(a+1)ln(x+1).其中a-1.求f(x)的单调区间. [考查目的]本题考查了函数的导数求法,函数的极值的判定,考查了应用数形结合的数学思想分析问题解决问题的能力 [解答过程]由已知得函数的定义域为.且 (1)当时.函数在上单调递减. (2)当时.由解得 .随的变化情况如下表 - 0 + 极小值 从上表可知 当时.函数在上单调递减. 当时.函数在上单调递增. 综上所述:当时.函数在上单调递减. 当时.函数在上单调递减.函数在上单调递增. 例12．已知函数在点处取得极大值.其导函数的图象经过点..如图所示.求: (Ⅰ)的值, (Ⅱ)的值. [考查目的]本小题考查了函数的导数,函数的极值的判定,闭区间上二次函数的最值, 函数与方程的转化等基础知识的综合应用,考查了应用数形结合的数学思想分析问题解决问题的能力 [解答过程]解法一:(Ⅰ)由图像可知.在上.在上.在上, 故在上递增.在上递减. 因此在处取得极大值.所以 (Ⅱ) 由 得 解得 解法二:(Ⅰ)同解法一 (Ⅱ)设 又 所以 由即得 所以 例13．设是函数的一个极值点. (Ⅰ)求与的关系式(用表示).并求的单调区间, (Ⅱ)设..若存在使得成立.求的取值范围. [考查目的]本小题主要考查函数.不等式和导数的应用等知识.考查综合运用数学知识解决问题的能力. [解答过程](Ⅰ)f `(x)＝-[x2+(a-2)x+b-a ]e3-x, 由f `(3)=0.得 -[32+(a-2)3+b-a ]e3-3＝0.即得b＝-3-2a. 则 f `(x)＝[x2+(a-2)x-3-2a-a ]e3-x ＝-[x2+(a-2)x-3-3a ]e3-x＝-(x-3)(x+a+1)e3-x. 令f `(x)＝0.得x1＝3或x2＝-a-1.由于x＝3是极值点. 所以x+a+1≠0.那么a≠-4. 当a<-4时.x2>3＝x1.则 在区间上.f `(x)<0. f (x)为减函数, 在区间(3.―a―1)上.f `为增函数, 在区间(―a―1.+∞)上.f `(x)<0.f (x)为减函数. 当a>-4时.x2<3＝x1.则 在区间(-∞.―a―1)上.f `(x)<0. f (x)为减函数, 在区间(―a―1.3)上.f `为增函数, 在区间上.f `(x)<0.f (x)为减函数. 知.当a>0时.f (x)在区间(0.3)上的单调递增.在区间(3.4)上单调递减.那么f (x)在区间[0.4]上的值域是[min.f (4) ).f (3)]. 而f (0)＝-(2a+3)e3<0.f (4)＝(2a+13)e-1>0.f (3)＝a+6. 那么f (x)在区间[0.4]上的值域是[-(2a+3)e3.a+6]. 又在区间[0.4]上是增函数. 且它在区间[0.4]上的值域是[a2+.(a2+)e4]. 由于(a2+)-(a+6)＝a2-a+＝()2≥0.所以只须仅须 (a2+)-(a+6)<1且a>0.解得0<a<. 故a的取值范围是(0.). 例14 已知函数 在处取得极大值.在处取得极小值.且． (1)证明, (2)若z=a+2b,求z的取值范围. [解答过程]求函数的导数． (Ⅰ)由函数在处取得极大值.在处取得极小值.知是的两个根． 所以 当时.为增函数..由.得． (Ⅱ)在题设下.等价于 即． 化简得． 此不等式组表示的区域为平面上三条直线:． 所围成的的内部.其三个顶点分别为:． 在这三点的值依次为． 所以的取值范围为． 小结:本题的新颖之处在把函数的导数与线性 规划有机结合． 考点4 导数的实际应用 建立函数模型,利用 典型例题 例15. 用长为18 cm的钢条围成一个长方体形状的框架.要求长方体的长与宽之比为2:1.问该长方体的长.宽.高各为多少时.其体积最大?最大体积是多少? [考查目的]本小题主要考查函数.导数及其应用等基本知识.考查运用数学知识分析和解决实际问题的能力. [解答过程]设长方体的宽为x(m).则长为2x(m).高为 . 故长方体的体积为 从而 令V′(x)＝0.解得x=0或x=1.因此x=1. 当0＜x＜1时.V′(x)＞0,当1＜x＜时.V′(x)＜0. 故在x=1处V(x)取得极大值.并且这个极大值就是V(x)的最大值. 从而最大体积V＝V′(x)＝9×12-6×13(m3).此时长方体的长为2 m.高为1.5 m. 答:当长方体的长为2 m时.宽为1 m.高为1.5 m时.体积最大.最大体积为3 m3. 例16．统计表明.某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗 油量(升)关于行驶速度的函数解析式可以表示为: 已知甲.乙两地相距100千米. (I)当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时.从甲地到乙地要耗油多少升? (II)当汽车以多大的速度匀速行驶时.从甲地到乙地耗油最少?最少为多少升? [考查目的]本小题主要考查函数.导数及其应用等基本知识.考查运用数学知识分析和解决实际问题的能力. [解答过程](I)当时.汽车从甲地到乙地行驶了小时. 要耗没(升). 答:当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时.从甲地到乙地耗油17.5升. (II)当速度为千米/小时时.汽车从甲地到乙地行驶了小时.设耗油量为升.依题意得 令得 当时.是减函数,当时.是增函数. 当时.取到极小值 因为在上只有一个极值.所以它是最小值. 答:当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时.从甲地到乙地耗油最少.最少为11.25升. 【查看更多】

     

    题目列表(包括答案和解析)

    已知，函数（其中为自然对数的底数）．

      （Ⅰ）求函数在区间上的最小值；

      （Ⅱ）设数列的通项，是前项和，证明：．

    【解析】本试题主要考查导数在研究函数中的运用，求解函数给定区间的最值问题，以及能结合数列的相关知识，表示数列的前n项和，同时能构造函数证明不等式的数学思想。是一道很有挑战性的试题。

     

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    请阅读下列材料：
    若两个实数a1，a2满足a1+a2=1，则
    a
    2
    1
    +
    a
    2
    2
    ≥
    1．
    2
    证明：构造函数f（x）=（x-a1）2+（x-a2）2=2x2-2x+a12+a22，因为对一切实数x，f（x）≥O恒成立，所以△=4-4×2（a12+a22）≤0，即
    a
    2
    1
    +
    a
    •2
    2
    ≥
    1
    2
    根据上述证明方法，若n个实数a1，a2，…，an满足a1+a2+…+an=1时，你能得到的不等式为：
     
    ．

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    先阅读下列不等式的证法：
    已知a1，a2∈R，a12+a22=1，求证：|a1+a2|≤
    		2
    ．
    证明：构造函数f（x）=（x-a1）2+（x-a2）2，则f（x）=2x2-2（a1+a2）x+1，因为对一切x∈R，恒有f（x）≥0，所以△=4（a1+a2）2-8≤0，故得|a1+a2|≤
    		2
    ．
    再解决下列问题：
    （1）若a1，a2，a3∈R，a12+a22+a32=1，求证|a1+a2+a3|≤
    		3
    ；
    （2）试将上述命题推广到n个实数，并证明你的结论．

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    （理科做）
    阅读下面题目的解法，再根据要求解决后面的问题．
    阅读题目：对于任意实数a1，a2，b1，b2，证明不等式（a1b1+a2b2）2≤（a12+a22）（b12+b22）．
    证明：构造函数f（x）=（a1x+b1）2+（a2x+b2）2=（a12+a22）x2+2（a1b1+a2b2）x+（b12+b22）．
    注意到f（x）≥0，所以△=[2（a1b1+a2b2）]2-4（a12+a22）（b12+b22）≤0，
    即（a1b1+a2b2）2≤（a12+a22）（b12+b22）．
    （其中等号成立当且仅当a1x+b1=a2x+b2=0，即a1b2=a2b1．）
    问题：（1）请用这个不等式证明：对任意正实数a，b，x，y，不等式
    a2
    x
    +
    b2
    y
    ≥
    (a+b)2
    x+y
    成立．
    （2）用（1）中的不等式求函数y=
    2
    x
    +
    9
    1-2x
    (0＜x＜
    1
    2
    )    的最小值，并指出此时x的值．
    （3）根据阅读题目的证明，将不等式（a1b1+a2b2）2≤（a12+a22）（b12+b22）进行推广，得到一个更一般的不等式，并用构造函数的方法对你的推广进行证明．

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    先阅读下列不等式的证法，再解决后面的问题：
    已知a1，a2∈R，a1+a2=1，求证a12+a22≥
    1
    2
    ，
    证明：构造函数f（x）=（x-a1）2+（x-a2）2=2x2-2x+a12+a22
    因为对一切x∈R，恒有f（x）≥0，所以△=4-8（a12+a22）≤0，从而得a12+a22≥
    1
    2
    ，
    （1）若a1，a2，…，an∈R，a1+a2+…+an=1，请写出上述结论的推广式；
    （2）参考上述解法，对你推广的结论加以证明．

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