[例1]求展开所得的多项式中.系数为有理数的项数 解: 依题意:.为3和2的倍数.即为6的倍数. 又...构成首项为0.公差为6.末项为96的等差数列.由得. 故系数为有理数的项共有17项 ◆提炼方法:有理项的求法:解不定方程.注意整除性的解法特征 [例2]设an=1+q+q2+-+q(n∈N*.q≠±1).An=Ca1+Ca2+-+Can (1)用q和n表示An, (2)当-3<q<1时.求 解:(1)因为q≠1.所以an=1+q+q2+-+q= 于是An= C+ C+-+C =［(C+C+-+C)-(Cq+Cq2+-+Cqn)］ ={(2n-1)-［(1+q)n-1］} =［2n-(1+q)n］ (2)=［1-()n］ 因为-3<q<1.且q≠-1.所以0<| |<1 所以= [例3]在二项式(axm+bxn)12(a＞0.b＞0.m.n≠0)中有2m+n=0.如果它的展开式里最大系数项恰是常数项. 求的范围. 解:(1)设T=C(axm)12-r·(bxn)r=Ca12-rbrxm(12-r)+nr为常数项.则有m(12-r)+nr=0.即m(12-r)-2mr=0.∴r=4.它是第5项. (2)∵第5项又是系数最大的项. ∴有 Ca8b4≥Ca9b3. ① Ca8b4≥Ca7b5. ② 由①得a8b4≥a9b3. ∵a＞0.b＞0.∴ b≥a.即≤. 由②得≥.∴≤≤. [例4]己知 (1) (2) 证明:(1) 同理 (2)由二项式定理有 因此 . [研讨.欣赏]求证:2<(1+)n<3(n≥2.n∈N*). 证明:(1+)n=C+C× +C()2+-+C()n =1+1+C×+C×+-+C× =2+×+×+-+× <2++++-+<2++++-+ =2+=3-()<3. 显然(1+)n=1+1+C×+C×+-+C×>2.所以2<(1+)n<3. 【
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