解:过P作内公切线交AB于E,由切线长定理知EB=EP,EP=EA,即EB=EP=EA,根据定理(在一个三角形中,一边上的中线等于该边的一半,那么这个三角形是直角三角形)知为直角三角形. 此题中AB为外公切线与两圆的切点,P为两圆切点. 我们习惯上把称为切点三角形. 在关于两圆外切关系的几何证明题中,运用切点三角形来分析问题,解决问题,可以收到事半功倍的效果,它的应用在两圆外切中尤为重要. 性质(4) 切点三角形是直角三角形. 例4如图4, ⊙⊙外切于点P,内公切线PC与外公切线AB(A.B分别是⊙⊙上的切点)相交于点C,已知⊙⊙的半径分别为3.4,则PC的长等于 . 分析:由于AB为外公切线,由性质(2)知 又由性质(4)知为直角在三角形且CP=CB=AC,故CP为斜边AB上的中线,因此 例5.如图5, ⊙⊙外切于点P,AB为两圆的外公切线,切点为A.B,连心线 ⊙于C,交⊙于D,CA与DB的延长线相交于Q,求证:. 简析:连AP.BP,由上题知∠APB=Rt∠,又∠CAP=∠PBD=Rt∠,故由四边形内角和定理知∠Q=Rt∠,即 两圆外切关系的这些性质,在解题时要灵活的应用.在例4.例5中的切点三角形并不是现成有的,而是添线构造出来的,难度稍大些,因此脑子中对切点三角形这些性质必须有深刻的印象,才能举一反三,触类旁通. 【
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