题目列表(包括答案和解析)
（12分）如图，等腰直角△ABC中，
ABC
，EA
平面ABC，FC//EA，EA = FC = AB = 
（Ⅰ）求证：AB 平面BCF；
（Ⅱ）求二面角A-EB-F的某三角函数值
（12分）如图，等腰直角△ABC中，
ABC
，EA
平面ABC，FC//EA，EA = FC = AB = 
（Ⅰ）求证：AB 平面BCF；
（Ⅱ）证明五点A．B．C．E．F在同一个球面上，并求A．F两点的球面距离。
已知:如图，等腰直角三角形
的直角边
，沿其中位线
将平面
折起，使平面⊥平面
，得到四棱锥
，设
、
、
、
的中点分别为
、
、
、
.
（1）求证：、、、四点共面；
（2）求证：平面
平面
；
（3）求异面直线与
所成的角.
的直角边
，沿其中位线
将平面
折起，使平面⊥平面
，得到四棱锥
，设
、
、
、
的中点分别为
、
、
、
.
、、、四点共面；
平面
；与
所成的角.已知:如图，等腰直角三角形
的直角边
，沿其中位线
将平面
折起，使平面
⊥平面
，得到四棱锥
，设
、
、
、
的中点分别为
、
、
、
.
（1）求证：、、、四点共面；
（2）求证：平面
平面
；
（3）求异面直线
与
所成的角.
一、选择题：ADBAA BCCDB
二、填空题
11.
; 12． 
;
13． 
14．（
）③⑤ （
）②⑤
15． （）
； （） 0
三、解答题：
16．解：（1）
…………5分
由
成等比数列，知
不是最大边
…………6分
（2）由余弦定理
得ac=2 …………11分
=
…………12分
17.解：（Ⅰ）
．
（Ⅱ）
．
1当
时，则
．此时轮船
更安全．
2当
时，则
．此时轮船和轮船
一样安全．
3当
时，则
．此时轮船更安全．
解：方法一
（Ⅰ）取
的中点
，连结
，由
知
，又
，故
，所以
即为二面角
的平面角.
在△
中，
，
，
，
由余弦定理有
，
所以二面角的大小是
.（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知道
平面，故平面
平面，故在平面
上的射影一定在直线上，所以点到平面
的距离即为△的边上的高.
故
.
…（12分）
19．解: （Ⅰ）∵△ABC的边长为
∵△ADE面积等于△ABC面积的一半，
∴
x?AEsin60°＝?
（
解得AE＝
，?
在△ADE中，由余弦定理:?
y2＝x2＋
?cos60°，?
∴y2＝x2＋
－
∴y＝
(a≤x≤
（Ⅱ）证明:∵y＝ (a≤x≤
且y＝
，设f（t）＝t＋
（a2≤t≤
当t∈（a2，
f（t1）－f（t2）＝（t1＋
）－（t2＋
）
＝（t1－t2）?
，?
∵a2＜t1＜t2＜
∴t1t2＞0，t1－t2＞0，t1t2－
∴f（t1）－f（t2）＞0，即f（t1）＞f（t2）?
∴f（x）在（a2，
同理可得，f（x）在（
又∵f（
a时，y有最小值，且ymin＝a，此时DE∥BC且AD＝a；当t＝a2或
a，此时DE为AB或AC边上的中线.?
20.解：（Ⅰ）∵
，∴
，
又∵
，∴
，
∴
，
∴椭圆的标准方程为
．
………（3分）
当
的斜率为0时，显然
=0，满足题意，
当的斜率不为0时，设方程为
，
代入椭圆方程整理得：
．
，
，
．
则
，
而
∴
，从而．
综合可知：对于任意的割线
，恒有．
………（8分）
（Ⅱ）
，
即：
，
当且仅当
，即
（此时适合于
的条件）取到等号．
∴三角形△ABF面积的最大值是
． ………………………………（13分）
21.解：（Ⅰ）由
故x>0或x≤－1
f(x)定义域为
…………………………（4分）
（Ⅱ）
下面使用数学归纳法证明：
①在n=1时，a1=1，<a1<2，则n=1时（*）式成立.
②假设n=k时
成立，
由
要证明：
只需
只需(2k+1)3≤8k(k+1)2
只需1≤4k2+2k
而4k2+2k≥1在k≥1时恒成立.
只需证：4k2+11k+8>0，而4k2+11k+8>0在k≥1时恒成立.
于是：
因此
得证.
综合①②可知（*）式得证.从而原不等式成立. ………………9分
（Ⅲ）要证明：
由（2）可知只需证：
…………（**）
下面用分析法证明：（**）式成立。
要使（**）成立，只需证：
即只需证：(3n－2)3n>(3n－1)3(n－1)
只需证：2n>1
而2n>1在n≥1时显然成立.故（**）式得证：
于是由（**）式可知有：
因此有：
……………………………………（13分）
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