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    [例1]根据下列条件.求双曲线的标准方程: (1) 与双曲线有共同渐近线.且过点, (2)双曲线的焦点在轴上.且过点和.P是双曲线上异于A.B的任一点.ΔAPB的垂心H总在此双曲线上. [解]:(1)设所求双曲线方程为.将点代入得.所以双曲线方程为. (2)设双曲线方程为为双曲线上任一点.BN.PM是ΔAPB的两条高.则BN方程为 ① PM方程为 ② 又 ③ 得.又H在双曲线上.∴ ④ ∴.所以双曲线方程为． [例2]已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0).右顶点为. (1) 求双曲线C的方程, (2) 若直线l:与双曲线C恒有两个不同的交点A和B.且(其中O为原点).求k的取值范围. 解:(Ⅰ)设双曲线方程为 由已知得 故双曲线C的方程为 (Ⅱ)将 由直线l与双曲线交于不同的两点得 即 ① 设.则 而 于是 ② 由①.②得 故k的取值范围为 提炼方法:求参数的取值范围是个综合性的问题,常用的方法有:Δ法,目标函数法,不等式法,几何法,向量法等． [例3] 设点P到点M.N(1.0)距离之差为2m.到x轴.y轴距离之比为2.求m的取值范围 分析:由|PM|-|PN|=2m.得||PM|-|PN||=2|m|．知点P的轨迹是双曲线.由点P到x轴.y轴距离之比为2.知点P的轨迹是直线.由交轨法求得点P的坐标.进而可求得m的取值范围 解:设点P的坐标为(x.y).依题意得=2. 即y=±2x(x≠0) ① 因此.点P(x.y).M.N(1.0)三点不共线. 从而得 ||PM|-|PN||<|MN|=2 ∵||PM|-|PN||=2|m|>0. ∴0<|m|<1 因此.点P在以M.N为焦点.实轴长为2|m|的双曲线上 故-=1 ② 将①代入②.并解得x2=. ∵1-m2>0.∴1-5m2>0 解得0<|m|<. 即m的取值范围为(-.0)∪(0.) 解题点评:解决此题的关键是用好双曲线的定义,取值范围的求法是-- [例4]已知双曲线的离心率.左.右焦点分别的为.左准线为.能否在双曲线的左支上找到一点P.使得是P到的距离与的等比中项. [解]:设在左半支上存在点P.使.由双曲线的第二定义知.即 ① 再由双曲线的第一定义.得 ② 由①②.解得: 由在Δ中有 . ③ 利用.从③式得 解得 .与已知矛盾. ∴符合条件的点P不存在. 思维点拨:利用定义及假设求出离心率的取值是关键. [研讨．欣赏]已知椭圆C的方程为+=1(a>b>0).双曲线-=1的两条渐近线为l1.l2.过椭圆C的右焦点F作直线l.使l⊥l1.又l与l2交于P点.设l与椭圆C的两个交点由上至下依次为A.B． (1)当l1与l2夹角为60°.双曲线的焦距为4时.求椭圆C的方程, (2)当=λ时.求λ的最大值． 剖析:(1)求椭圆方程即求a.b的值.由l1与l2的夹角为60°易得=.由双曲线的焦距为4易得a2+b2=4.进而可求得a.b． (2)由=λ.欲求λ的最大值.需求A.P的坐标.而P是l与l1的交点.故需求l的方程．将l与l2的方程联立可求得P的坐标.进而可求得点A的坐标．将A的坐标代入椭圆方程可求得λ的最大值． 解:(1)∵双曲线的渐近线为y=±x.两渐近线夹角为60°.又<1. ∴∠POx=30°.即=tan30°=． ∴a=b． 又a2+b2=4. ∴a2=3.b2=1． 故椭圆C的方程为+y2=1． (2)由已知l:y=(x-c).与y=x解得P(.). 由=λ得A(.)．代入椭圆方程得 (c2+λa2)2+λ2a4=(1+λ)2a2c2． ∴(e2+λ)2+λ2=e2(1+λ)2． ∴λ2==-［(2-e2)+］+3≤3-2． ∴λ的最大值为-1． 评述:本题考查了椭圆.双曲线的基础知识.及向量.定比分点公式.重要不等式的应用．解决本题的难点是通过恒等变形.利用重要不等式解决问题的思想．本题是培养学生分析问题和解决问题能力的一道好题． 【查看更多】

     

    题目列表(包括答案和解析)

    根据下列条件，求双曲线的标准方程：与双曲线有相同焦点，且经过点（3，2）。

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    根据下列条件，求双曲线的标准方程：与双曲线有相同焦点，且经过点（3，2）。

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