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    15．已知x＝1是函数f(x)＝mx3-3(m+1)x2+nx+1的一个极值点.其中m.n∈R.m<0. (1)求m与n的关系式, (2)求f(x)的单调区间, (3)当x∈[-1,1]时.函数y＝f(x)的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m.求m的取值范围． 解:(1)f′(x)＝3mx2-6(m+1)x+n. ∵x＝1是函数f(x)＝mx3-3(m+1)x2+nx+1的一个极值点． ∴f′(1)＝0.即3m-6(m+1)+n＝0. ∴n＝3m+6. 知f′(x)＝3mx2-6(m+1)x+3m+6＝3m(x-1). 当m<0时.有1>1+. x 1+ 1 f′(x) - 0 + 0 - f(x) 单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减 所以.当m<0时.f(x)在上单调递减.在上单调递增.在上单调递减． (3)由已知.得f′(x)>3m. 即mx2-2(m+1)x+2>0. ∵m<0.∴x2-2x+<0. x∈[-1,1]．(*) 设g(x)＝x2-2x+.函数图象开口向上． 由题意.知(*)式恒成立． ∴ ∴∴m>-. 又m<0.∴-<m<0.即m的取值范围为. 【查看更多】

     

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