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一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）

题号

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

（6）

（7）

（8）

答案

（D）

（B）

（A）

（A）

（D）

（C）

（B）

（C）

二、填空题（本大题共6小题，每小题5分.有两空的小题,第一空3分,第二空2分,共30分）

（9）-1　　   （10）{x|x<-4,或x>-1}　　  （11）4

（12）（0，-1）,（x-1)²+(y-1)²=1    （13）    (14)4,8

三、解答题（本大题共6小题,共80分）

（15）（共12分）

解：（Ⅰ）∵p =(sinx,cosx+sinx), q =(2cosx,cosx-sinx),

∴f（x）=p?q=(sinx,cosx+sinx)?(2cosx,cosx-sinx)

=2sinxcosx+cos²x-sin²x   …………………………………… 2分

=sin2x+cos2x  ……………………………………………… 4分
∴ f()=. …………………………………………………… 5分
又f(x)=sin2x+cos2x=sin(2x+)  …………………………… 6分
∴函数f(x)的最大值为.  ……………………………………… 7分
当且仅当x=+k(kZ)时，函数f(x)取得最大值.

（Ⅱ）由2k-≤2x+≤2k+ ( kZ),  …………………… 9分

得k-≤x≤k+.  ………………………………………… 11分

函数f(x)的单调递增区间为［k-, k+］( kZ). …… 12分

（16）（共14分）

解法一：（Ⅰ）证明：连结A₁D，在正方体AC₁中，∵A₁B₁⊥平面A₁ADD_1，

∴A₁D是PD在平面A₁ADD₁内的射影. …………………………………… 2分

∵在正方形A₁ADD₁中，A₁D⊥AD₁，∴PD⊥AD_1.  ……………………… 4分

解：（Ⅱ）取D₁C₁中点M，连结PM，CM,则PM∥A₁D₁.

∵A₁D₁⊥平面D₁DCC₁，∴PM⊥平面D₁DCC₁.

∴CM为CP在平面D₁DCC₁内的射影.则∠PCM为CP与平面D₁DCC₁

所成的角.      …………………………………………………………… 7分

在Rt△PCM中,sinPCM==.

∴CP与平面D₁DCC₁所成角的正弦值为. …………………………… 9分

（Ⅲ）在正方体AC₁中，D₁D∥C₁C.

∵C₁C平面D₁DP内，

∴C₁C⊥∥平面D₁DP.

∴点C到平面D₁DP的距离与点C₁

到平面D₁DP的距离相等.

又D₁D⊥平面A₁B₁C₁D_1,

DD₁平面D₁DP

∴平面D₁DP⊥平面A₁B₁C₁D_1,

又平面D₁DP∩平面A₁B₁C₁D₁=

D₁P,过C₁作C₁H⊥D₁P于H,

则C₁H⊥平面D₁DP.

∴C₁H的长为点C₁到平面D₁DP的距离.    ………………………12分

连结C₁P，并在D₁C₁上取点Q，使PQ∥B₁C₁，在△D₁PC₁中,

C₁H?D₁P=PQ?D₁C₁，得C₁H= .

∴点C到平面D₁DP的距离为.   ……………………………… 14分

解法二：如图，以D为坐标原点，建立空

间直角坐标系D-xyz.

由题设知正方体棱长为4，则

D(0,0,0) ,A(4,0,0)，

B₁(4,4,4) ,A₁(4,0,4)，

D₁(0,0,4) ,C（0,4,0）.

………………………………………1分

(Ⅰ)设P(4，y₀，4),

∴=(4,y₀,4),

∴=(-4,0,4)

……………………………3分

∵?=-16+16=0,

∴PD⊥AD_1.   …………………………………………………………… 4分

（Ⅱ）由题设可得,P（4,2,4），故=（4，-2，4）.

∵AD⊥平面D₁DCC_1, ∴=(4,0,0)是平面D₁DCC₁的法向量.  ……………

……………………………………………………………………………… 7分

∴cos<, >=          =.……………………………………………… 8分

∴CP与平面D₁DCC₁所成角的正弦值为. …………………………………… 9分

(Ⅲ) ∵=(0,4,0),设平面D₁DP的法向量n=(x,y,z),

∵P(4,3,4), ∴=(0,0,4),=(4,3,4).

则             即令x=-3,则y=4.  

∴n=(-3,4,0).   ……………………………………………………………… 12分

∴点C到平面D₁DP的距离为d=        =.  ………………………… 14分

（17）（共13分）

解：（Ⅰ）设事件“某人参加A种竞猜活动只获得一个福娃奖品”为事件M，…… 1分

依题意，答对一题的概率为，则

P（M）=  …………………………………………………… 3分

=15×==.    ………………………………………………… 4分

（Ⅱ）依题意，某人参加B种竞猜活动，结束时答题数η=1，2，…,6，……… 5分

则P(η=1)=,P(η=2)=,P(η=3)=,P(η=4)=, P(η=5)=,

P(η=6)= ,    ………………………………………………………  11分

所以,η的分布列是

η

1

2

3

4

5

6

E_η=1×+2××+…+5××+6×.

设S=1+2×+…+5×,

则S=+2×+3×+4×+5×,

S=1++++-5×=-5×,

E_η=-5×+6×==.  ……………………… 13分

答：某人参加A种竞猜活动只获得一个福娃奖品的概率为；某人参加B种竞猜活动，

结束时答题数为η，E_η为.

（18）（共13分）

解：如图，建立直角坐标系，依题意:设

椭圆方程为+=1(a>b>0),

……………………………… 1分

 (Ⅰ)依题意：=，b=1,

a²= b²+c², ………… 4分

∵椭圆M的离心率大于0.7,

∴a²=4, b²=1.

∴椭圆方程为+y²=1.  …………………………………………………… 6分

(Ⅱ)因为直线l过原点与椭圆交于点P,Q，设椭圆M的左焦点为F₁.由对称性可知，

四边形PF₁QF₂是平行四边形.

∴△PF₂Q的面积等于△PF₁ F₂的面积.  …………………………………… 8分

∵∠PF₂Q=，∴∠F₁PF₂=.

设|PF₁|=r_1, |PF₂|=r₂,则   ……………………………… 10分

∴r₁ r₂=.  ………………………………………………………………… 11分

∴S_△=S_△= r₁ r₂sin=.  ………………………………… 13分

（19）（共14分）

解：（Ⅰ）f′(x)=-3x²+2ax.   ……………………………………………………… 1分

据题意，f′(1)=tan=1, ∴-3+2a=1,即a=2. ……………………………3分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知f(x)=-x³+2x²-4,

则f′(x)=-3x²+4x.

x

-1

(-1,0)

0

(0,1)

1

f′(x)

-7

-

0

+

1

f(x)

-1

-4

-3

…………………………………………………………………………… 5分

∴对于m［-1,1］,f(m)的最小值为f(0)=-4  ………………… 6分

∵f′(   x)=-3x²+4x的对称轴为x=,且抛物线开口向下，

∴x［-1,1］时，f′(   x)的最小值为f′(   -1)与f′(   1)中较小的.

∵f′(  1)=1，f′(  -1)=-7,

∴当x［-1,1］时，f′(   x)的最小值为-7.

∴当n［-1,1］时，f′ (   x)的最小值为-7.  …………………… 7分

∴f(m)+ f′(   n)的最小值为-11.   ………………………………… 8分

(Ⅲ) ∵f′(  x)= -3x.

①若a≤0,当x>0时，f′(   x)<0, ∴f(x)在［0,+∞上单调递减.

又f(0)=-4,则当x>0时,f(x)<-4.

∴当a≤0时,不存在x₀>0,使f(x₀)>0. …………………………………… 11分

②若a>0,则当0<x<时，f ′(  x)>0,当x>时，f ′(  x)<0.

从而f(x)在(0, 上单调递增，在 [,+∞上单调递减.

∴当x(0,+∞)时, f(x)_max=f()=-+-4=-4.

据题意，-4>0，即a³>27. ∴a>3.  ……………………………… 14分

综上，a的取值范围是(3,+∞).

（20）（共14分）

解：（Ⅰ）由①知，对任意a,bN*，a＜b,都有（ab）（f (a)f（b））＞0，

由于a-b＜0, 从而f（a）＜f（b），所以函数f（x）为N^*上的单调增函数. …3分

（Ⅱ）令f（1）=a，则a≥1，显然a≠1,否则f（f（1））= f（1）=1,与f（f（1））=3矛盾.

      从而a＞1,

而由f（f（1））=3，即得f（a）=3.

又由（Ⅰ）知f（a）＞f（1）=a ,即a＜3.

于是得1＜a＜3,又aN^*,从而a=2，即f（1）=2  ……………… 5分

进而由f（a）=3知，f（2）=3.

于是f（3）=f（f（2））=3×2=6，………………………………… 7分

f（6）=f（f（3））=3×3=9，

f（9）=f（f（6））=3×6=18，

f（18）=f（f（9））=3×9=27，

f（27）=f（f（18））=3×18=54，

f（54）=f（f（27））=3×27=81.

由于5427=8154=27,

而且由（Ⅰ）知，函数f（x）为单调增函数，因此f（28）=54+1=55.

从而f（1）+f（6）+f（28）=2+9+55=66.………………………  9分

（Ⅲ）f（a_n）=f（f（3ⁿ））=3×3ⁿ=3ⁿ⁺¹,

a_n+1=f（3ⁿ⁺¹）=f（f（a_n））=3a_n,a₁=f（3）=6.

即数列{a_n}是以6为首项，以3为公比的等比数列.

∴a_n=6×3ⁿ¹=2×3ⁿ（n=1，2，3…）.…………………………  11分

      于是++…+=（++…+）=×.

       显然（）＜.………………………………………………12分

      另一方面3ⁿ=（1+2）ⁿ=1+×2+×2²+…+×2ⁿ≥1+2n,

      从而（1）≥（1）=.

       综上得≤++…+＜.………………………………14分

说明：其他正确解法按相应步骤给分.