由正方形性质知. 查看更多

 

题目列表(包括答案和解析)

在棱长为的正方体中,是线段的中点,.

(1) 求证:^

(2) 求证://平面

(3) 求三棱锥的表面积.

【解析】本试题考查了线线垂直和线面平行的判定定理和表面积公式的运用。第一问中,利用,得到结论,第二问中,先判定为平行四边形,然后,可知结论成立。

第三问中,是边长为的正三角形,其面积为

因为平面,所以

所以是直角三角形,其面积为

同理的面积为面积为.  所以三棱锥的表面积为.

解: (1)证明:根据正方体的性质

因为

所以,又,所以

所以^.               ………………4分

(2)证明:连接,因为

所以为平行四边形,因此

由于是线段的中点,所以,      …………6分

因为平面,所以∥平面.   ……………8分

(3)是边长为的正三角形,其面积为

因为平面,所以

所以是直角三角形,其面积为

同理的面积为,              ……………………10分

面积为.          所以三棱锥的表面积为

 

查看答案和解析>>

已知椭圆.
(1)我们知道圆具有性质:若为圆O:的弦AB的中点,则直线AB的斜率与直线OE的斜率的乘积为定值。类比圆的这个性质,写出椭圆的类似性质,并加以证明;
(2)如图(1),点B为在第一象限中的任意一点,过B作的切线分别与x轴和y轴的正半轴交于C,D两点,求三角形OCD面积的最小值;
(3)如图(2),过椭圆上任意一点的两条切线PM和PN,切点分别为M,N.当点P在椭圆上运动时,是否存在定圆恒与直线MN相切?若存在,求出圆的方程;若不存在,请说明理由.
    
图(1)                                    图(2)

查看答案和解析>>

在四棱锥中,平面,底面为矩形,.

(Ⅰ)当时,求证:

(Ⅱ)若边上有且只有一个点,使得,求此时二面角的余弦值.

【解析】第一位女利用线面垂直的判定定理和性质定理得到。当a=1时,底面ABCD为正方形,

又因为,………………2分

,得证。

第二问,建立空间直角坐标系,则B(1,0,1)D(0,a,0)C(1,a,0)P(0,0,1)……4分

设BQ=m,则Q(1,m,0)(0《m《a》

要使,只要

所以,即………6分

由此可知时,存在点Q使得

当且仅当m=a-m,即m=a/2时,BC边上有且只有一个点Q,使得

由此知道a=2,  设平面POQ的法向量为

,所以    平面PAD的法向量

的大小与二面角A-PD-Q的大小相等所以

因此二面角A-PD-Q的余弦值为

解:(Ⅰ)当时,底面ABCD为正方形,

又因为,………………3分

(Ⅱ) 因为AB,AD,AP两两垂直,分别以它们所在直线为X轴、Y轴、Z轴建立坐标系,如图所示,

则B(1,0,1)D(0,a,0)C(1,a,0)P(0,0,1)…………4分

设BQ=m,则Q(1,m,0)(0《m《a》要使,只要

所以,即………6分

由此可知时,存在点Q使得

当且仅当m=a-m,即m=a/2时,BC边上有且只有一个点Q,使得由此知道a=2,

设平面POQ的法向量为

,所以    平面PAD的法向量

的大小与二面角A-PD-Q的大小相等所以

因此二面角A-PD-Q的余弦值为

 

查看答案和解析>>

如图所示,圆柱的高为2,底面半径为,AE、DF是圆柱的两条母线,过作圆柱的截面交下底面于.

(1)求证:

(2)若四边形ABCD是正方形,求证

(3)在(2)的条件下,求二面角A-BC-E的平面角的一个三角函数值。

【解析】第一问中,利用由圆柱的性质知:AD平行平面BCFE

又过作圆柱的截面交下底面于. 

又AE、DF是圆柱的两条母线

∥DF,且AE=DF     AD∥EF

第二问中,由线面垂直得到线线垂直。四边形ABCD是正方形  又

BC、AE是平面ABE内两条相交直线

 

第三问中,设正方形ABCD的边长为x,则在

 

由(2)可知:为二面角A-BC-E的平面角,所以

证明:(1)由圆柱的性质知:AD平行平面BCFE

又过作圆柱的截面交下底面于. 

又AE、DF是圆柱的两条母线

∥DF,且AE=DF     AD∥EF 

(2) 四边形ABCD是正方形  又

BC、AE是平面ABE内两条相交直线

 

(3)设正方形ABCD的边长为x,则在

 

由(2)可知:为二面角A-BC-E的平面角,所以

 

查看答案和解析>>


同步练习册答案