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某项竞赛分为初赛、复赛、决赛三个阶段进行，每个阶段选手要回答一个问题.规定正确回答问题者进入下一阶段竞赛,否则即遭淘汰.已知某选手通过初赛、复赛、决赛的概率分别是、、,且各阶段通过与否相互独立.

(1)求该选手在复赛阶段被淘汰的概率;

(2)设该选手在竞赛中回答问题的个数为ξ,求ξ的数学期望和方差.

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一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.

1.C         2.A        3.D        4.B        5.A    6.C    7.D    8.B

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.

9.0                                 10.                    11.24；81

12.(―∞，―1)∪（2，+∞)             13.1；                  14.2^-|x|

注：两空的题目，第一个空2分，第二个空3分.

三、解答题：本大题共6小题，共80分.

15.(本小题满分12分)

(Ⅰ)解：

记“该选手通过初赛”为事件A，“该选手通过复赛”为事件B，“该选手通过决赛”为事件C，

则P(A)=，P(B)=，P(C)=.

那么该选手在复赛阶段被淘汰的概率是

P=P()=P(A)P()=×.                                        5分

(Ⅱ)解：

ξ可能的取值为1，2，3.                                                     6分

P(ξ-1)=P=1

P(ξ=2)=P()=P(A)P()=，

P(ξ=3)=P(AB)=P(A)P(B)=×.                                          9分

ξ的数学期望Eξ=1×                                    11分

ξ的方差Dξ=                12分

16.(本小题满分12分)

(Ⅰ)解：

∵f=sin²(1+sin2)=                 4分

∴sin².

∵,

∴

(Ⅱ)解：

由(Ⅰ)得f(x)=sin²                              8分

∵0≤x≤                                    9分

当2x+=π，即x=时，cos取得最小值-1.                         11分

∴f(x)在上的最大值为1，此时x=                                  12分

17.(本小题满分14分)

解法一：

(Ⅰ)解：

连结A₁D.

∵ABCD-A₁B₁C₁D₁是正四棱柱，

∴A₁B₁⊥平面A₁ADD₁，

∴A₁D是B₁D在平A₁ADD₁上的射影，

∴∠A₁DB₁是直线B₁D和平面A₁ADD₁所成的角.                                2分

在RtΔB₁A₁D中，      tanA₁DB₁=

∴∠A₁DB₁=30°，

即直线B₁D和平面A₁ADD₁，所成角的大小是30°                               4分

(Ⅱ)证明：

在Rt△A₁AD和Rt△ADE中，

∵,

∴A₁AD―△ADE，

∴∠A₁DA=∠AED．

∴∠A₁DA+∠EAD=∠AED+∠EAD=90°，

∴A₁D⊥AE．                                                               7分

由(Ⅰ)知，A₁D是B₁D在平面A₁ADD₁上的射影,

根据三垂线定理得，B₁D⊥AE．                                               9分

(Ⅲ)解：

设A₁D∩AE=F，连结CF．

∵CD⊥平面A₁ADD₁,且AE⊥DF，

根据三垂线定理得，AE⊥CF，

∴∠DFC是二面角C-AE-D的平面角．                                        11分

在Rt△ADE中，由AD?DE=AE?DF.

在Rt△FDC中，tan DFC=

∴∠DFC=60°，

即二面角C-AE-D的大小是60°                                              14分

解法二：

∵ABCD-A₁B₁C₁D₁是正四棱柱，

∴DA、DC、DD₁两两互相垂直．

如图，以D为原点，直线DA，DC，DD₁分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系．

1分

则D(0,0,0),A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),B₁(1,1,).

(Ⅰ)解：

连结A₁D,∵ABCD-A₁B₁C₁D₁是正四棱柱，

∴A₁B₁⊥平面A₁ADD₁,

∴A₁D是B₁D在平面A₁ADD₁上的射影，

∴∠A₁DB₁是直线B₁D和平面A₁ADD₁所成的角．                               4分

∵A₁，                          ∴

∴cos

∴∠A₁DB₁=30°，

即直线B₁D和平面A₁ADD₁所成角的大小是30°,                                 6分

(Ⅱ)证明：

∵E是DD₁的中点      ∴E,                  ∴

∵=-1+0+1=0，

∴B₁D⊥AE．                                                             9分

(Ⅲ)解：

设A₁D∩AE=F，连结CF．

∵CD⊥平面A₁ADD₁,   且AE⊥DF；

根据三垂线定理得，AE⊥CF，

∴∠DFC是二面角C-AE-D的平面角．                                      11分

根据平面几何知识，可求得F

∴

∴cos,

∴二面角C-AE-D的大小是60°                                             14分

18．(本小题满分14分)

（Ⅰ）解：

∵a₁=-3，a_n=2a_n-1+2ⁿ+3(n≥2，且n∈N^*)，

∴a₂=2a₁+2²+3=1                                                         2分

a₃=2a₂+2³+3=13．                                                        4分

（Ⅱ）证明：

证法一：对于任意nN*，

∵b_n+1-b_n=[(a_n+1-2a_n)-3]=[(2ⁿ⁺¹+3)-3]=1，

∴数列{b_n}是首项为==0，公差为1的等差数列.                 9分

证法二：对于任意nN*，

∵2b_n+1-(b_n+b_n+2)=2×=（4a_n+1-4a_n-a_n+2-3）

              =[2(a_n+1-2a_n)-(a_n+2-2a_n+1)-3]=[2(2ⁿ⁺¹+3)-(2ⁿ⁺²+3)-3]=0，

∴2b_n+1=b_n+b_n+2，

∴数例{b_n}是首项为=0，公差为b₂-b₁=1的等差数列.             9分

（Ⅲ）解：

由（Ⅱ）得，=0 + (n-1)×1，

∴a_n=(n-1)?2ⁿ-3(nN*).                                                   10分

∴S_n=-3+（1×2²-3）+（2×2³-3）+…+[（n-1）?2ⁿ-3]，

即S_n=1×2²+2×2³+3×2⁴+…+(n-1)?2ⁿ-3n.

设T_n=1×2²+2×2³+3×2⁴+…+(n-1)?2ⁿ，

则2T_n=1×2³+2×2⁴+3×2⁵+…+(n-1)?2ⁿ⁺¹，

两式相减得，-T_n=2²+2³+2⁴+…+2ⁿ-（n-1）?2ⁿ⁺¹=-(n-1)?2ⁿ⁺¹，

整理得，T_n=4+（n-2）?2ⁿ⁺¹，

从而S_n=4+(n-2)?2ⁿ⁺¹-3n(nN*).                                             14分

19．（本小题满分14分）

（Ⅰ）解：

依题意，直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=kx+p，

将其代入x²=2py，消去y整理得x²-2pkx-2p²=0.                                 2分

设A，B的坐标分别为A（x₁，y₁），B(x₂，y₂)，则x₁x₂=-2p².                      3分

将抛物线的方程改写为y=，求导得y′=

所以过点A的切线l₁的斜率是k₁=，过点B的切线l₂的斜率是k₂=，

故k₁k₂=，所以直线l₁和l₂的斜率之积为定值-2.                     6分

（Ⅱ）解：

设M（x,y）.因为直线l₁的方程为y-y₁=k₁(x-x₁)，即，

同理，直线l₂的方程为，

联立这两个方程，消去y得，

整理得(x₁-x₂)=0，注意到x₁≠x₂，所以x=.               10分

此时y=.              12分

由(Ⅰ)知，x₁+x₂=2pk，所以x==pkR,

所以点M的轨迹方程是y=-p.                                              14分

20.(本小题满分14分)

(Ⅰ)解：

f(x)的导数f′(x)=e^x-1.

令f′(x)＞0，解得x＞0；令f′(x)＜0，解得x＜0.

从而f(x)在(-∞，0)内单调递减，在(0，+∞)内单调递增.

所以，当x=0时，f(x)取得最小值1.                                            3分

(Ⅱ)解：

因为不等式f(x)＞ax的解集为P，且{x|0≤x≤2}P，

所以对于任意x∈[0，2]，不等式f(x)＞ax恒成立.                                4分

由f(x)＞ax，得(a+1)x＜e^x.

当x=0时，上述不等式显然成立，故只需考虑x∈(0,2]的情况.                     5分

将（a+1）x＜e^x变形为a＜，

令g（x）=-1，则g(x)的导数g′(x)=，

令g′(x)＞0，解得x＞1；令g′(x)＜0，解得x＜1.

从而g(x)在(0,1)内单调递减，在(1,2)内单调递增.

所以，当x=1时，g（x）取得最小值e-1，

从而实数a的取值范围是（－∞，e-1）.                                        8分

(Ⅲ)证明：

由(Ⅰ)得，对于任意x∈R，都有e^x-x≥1，即1+x≤e^x.                            9分

令x=(n∈N*,i=1，2，…，n-1)，  则0＜1＜

∴  (i=1，2，…，n-1)，

即  (i=1，2，…，n-1).

∴

∵e^-(n-1)+e^-(n-2)+…+e^-1+1=，

∴                                                        14分