题目列表(包括答案和解析)
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已知抛物线的顶点在坐标原点,它的准线经过双曲线:的一个焦点且垂直于的两个焦点所在的轴,若抛物线与双曲线的一个交点是.
(Ⅰ)求抛物线的方程及其焦点的坐标; (Ⅱ)求双曲线的方程及其离心率.
【解析】本试题主要考查了抛物线方程的求解,以及双曲线与抛物线的交点问题,和双曲线的几何性质的综合求解和运用。
已知抛物线的顶点在坐标原点,它的准线经过双曲线:的一个焦点且垂直于的两个焦点所在的轴,若抛物线与双曲线的一个交点是.
(Ⅰ)求抛物线的方程及其焦点的坐标; (Ⅱ)求双曲线的方程及其离心率.
【解析】本试题主要考查了抛物线方程的求解,以及双曲线与抛物线的交点问题,和双曲线的几何性质的综合求解和运用。
(选修4—1几何证明选讲)已知:直线AB过圆心O,交⊙O于AB,直线AF交⊙O于F(不与B重合),直线l与⊙O相切于C,交AB于E,且与AF垂直,垂足为G,连结AC
求证:(1) (2)AC2=AE·AF
23(选修4—4坐标系与参数方程选讲)以直角坐标系的原点O为极点,轴的正半轴为极轴,且两个坐标系取相等的单位长度.已知直线经过点P(1,1),倾斜角.
(I)写出直线参数方程;
(II)设与圆相交于两点A、B,求点P到A、B两点的距离之积.
24.选修4-5:不等式选讲
设函数.
(Ⅰ)求不等式的解集;
(Ⅱ),使,求实数的取值范围.
(12分)圆、椭圆、双曲线都有对称中心,统称为有心圆锥曲线,它们统一的标准方程为.圆的很多优美性质可以类比推广到有心圆锥曲线中,如圆的“垂径定理”的逆定理:圆的平分弦(不是直径)的直径垂直于弦. 类比推广到有心圆锥曲线:已知直线与曲线:交于两点,的中点为,若直线和(为坐标原点)的斜率都存在,则.这个性质称为有心圆锥曲线的“垂径定理”.
(Ⅰ)证明有心圆锥曲线的“垂径定理”;
(Ⅱ)利用有心圆锥曲线的“垂径定理”解答下列问题:
① 过点作直线与椭圆交于两点,求的中点的轨迹的方程;
② 过点作直线与有心圆锥曲线交于两点,是否存在这样的直线使点为线段的中点?若存在,求直线的方程;若不存在,说明理由.
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