解:(Ⅰ)由知.点的轨迹是以.为焦点的双曲线右支.由.∴.故轨迹E的方程为- 查看更多

 

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(12分)圆、椭圆、双曲线都有对称中心,统称为有心圆锥曲线,它们统一的标准方程为.圆的很多优美性质可以类比推广到有心圆锥曲线中,如圆的“垂径定理”的逆定理:圆的平分弦(不是直径)的直径垂直于弦. 类比推广到有心圆锥曲线:已知直线与曲线交于两点,的中点为,若直线(为坐标原点)的斜率都存在,则.这个性质称为有心圆锥曲线的“垂径定理”.

(Ⅰ)证明有心圆锥曲线的“垂径定理”;

(Ⅱ)利用有心圆锥曲线的“垂径定理”解答下列问题:

①     过点作直线与椭圆交于两点,求的中点的轨迹的方程;

②     过点作直线与有心圆锥曲线交于两点,是否存在这样的直线使点为线段的中点?若存在,求直线的方程;若不存在,说明理由.

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