综上.存在.使得. ---------------- 查看更多

 

题目列表(包括答案和解析)

已知

(1)求的单调区间;

(2)证明:当时,恒成立;

(3)任取两个不相等的正数,且,若存在使成立,证明:

【解析】(1)g(x)=lnx+=        (1’)

当k0时,>0,所以函数g(x)的增区间为(0,+),无减区间;

当k>0时,>0,得x>k;<0,得0<x<k∴增区间(k,+)减区间为(0,k)(3’)

(2)设h(x)=xlnx-2x+e(x1)令= lnx-1=0得x=e, 当x变化时,h(x),的变化情况如表

x

1

(1,e)

e

(e,+)

 

0

+

h(x)

e-2

0

所以h(x)0, ∴f(x)2x-e                    (5’)

设G(x)=lnx-(x1) ==0,当且仅当x=1时,=0所以G(x) 为减函数, 所以G(x)  G(1)=0, 所以lnx-0所以xlnx(x1)成立,所以f(x) ,综上,当x1时, 2x-ef(x)恒成立.

(3) ∵=lnx+1∴lnx0+1==∴lnx0=-1      ∴lnx0 –lnx=-1–lnx===(10’)  设H(t)=lnt+1-t(0<t<1), ==>0(0<t<1), 所以H(t) 在(0,1)上是增函数,并且H(t)在t=1处有意义, 所以H(t) <H(1)=0∵=

∴lnx0 –lnx>0, ∴x0 >x

 

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已知,函数

(1)当时,求函数在点(1,)的切线方程;

(2)求函数在[-1,1]的极值;

(3)若在上至少存在一个实数x0,使>g(xo)成立,求正实数的取值范围。

【解析】本试题中导数在研究函数中的运用。(1)中,那么当时,  又    所以函数在点(1,)的切线方程为;(2)中令   有 

对a分类讨论,和得到极值。(3)中,设,依题意,只需那么可以解得。

解:(Ⅰ)∵  ∴

∴  当时,  又    

∴  函数在点(1,)的切线方程为 --------4分

(Ⅱ)令   有 

①         当

(-1,0)

0

(0,

,1)

+

0

0

+

极大值

极小值

的极大值是,极小值是

②         当时,在(-1,0)上递增,在(0,1)上递减,则的极大值为,无极小值。 

综上所述   时,极大值为,无极小值

时  极大值是,极小值是        ----------8分

(Ⅲ)设

求导,得

    

在区间上为增函数,则

依题意,只需,即 

解得  (舍去)

则正实数的取值范围是(

 

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(2009全国卷Ⅱ文)(本小题满分12分)

已知椭圆C:                    的离心率为      ,过右焦点F的直线l与C相交于A、B

 
            

两点,当l的斜率为1时,坐标原点O到l的距离为

 

(Ⅰ)求a,b的值;

(Ⅱ)C上是否存在点P,使得当l绕F转到某一位置时,有成立?

若存在,求出所有的P的坐标与l的方程;若不存在,说明理由。

解析:本题考查解析几何与平面向量知识综合运用能力,第一问直接运用点到直线的距离公式以及椭圆有关关系式计算,第二问利用向量坐标关系及方程的思想,借助根与系数关系解决问题,注意特殊情况的处理。

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(2009全国卷Ⅱ文)(本小题满分12分)

已知椭圆C:                    的离心率为      ,过右焦点F的直线l与C相交于A、B

 
            

两点,当l的斜率为1时,坐标原点O到l的距离为

 

(Ⅰ)求a,b的值;

(Ⅱ)C上是否存在点P,使得当l绕F转到某一位置时,有成立?

若存在,求出所有的P的坐标与l的方程;若不存在,说明理由。

解析:本题考查解析几何与平面向量知识综合运用能力,第一问直接运用点到直线的距离公式以及椭圆有关关系式计算,第二问利用向量坐标关系及方程的思想,借助根与系数关系解决问题,注意特殊情况的处理。

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(09年山东省实验中学综合测试理)(本小题满分13分)已知椭圆的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形,直线是抛物线的一条切线.

   (1)求椭圆的方程;

   (2)过点的动直线L交椭圆C于A、B两点,试问:在坐标平面上是否存在一

        个定点T,使得以AB为直径的圆恒过点T?若存在,求出点T的坐标;若不存在,

        请说明理由.

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