题目列表(包括答案和解析)
等轴双曲线的中心在原点,焦点在轴上,与抛物线的准线交于两点,;则的实轴长为( )
【解析】设等轴双曲线方程为,抛物线的准线为,由,则,把坐标代入双曲线方程得,所以双曲线方程为,即,所以,所以实轴长,选C.
如图,已知直线()与抛物线:和圆:都相切,是的焦点.
(Ⅰ)求与的值;
(Ⅱ)设是上的一动点,以为切点作抛物线的切线,直线交轴于点,以、为邻边作平行四边形,证明:点在一条定直线上;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,记点所在的定直线为, 直线与轴交点为,连接交抛物线于、两点,求△的面积的取值范围.
【解析】第一问中利用圆: 的圆心为,半径.由题设圆心到直线的距离.
即,解得(舍去)
设与抛物线的相切点为,又,得,.
代入直线方程得:,∴ 所以,
第二问中,由(Ⅰ)知抛物线方程为,焦点. ………………(2分)
设,由(Ⅰ)知以为切点的切线的方程为.
令,得切线交轴的点坐标为 所以,, ∵四边形FAMB是以FA、FB为邻边作平行四边形
∴ 因为是定点,所以点在定直线
第三问中,设直线,代入得结合韦达定理得到。
解:(Ⅰ)由已知,圆: 的圆心为,半径.由题设圆心到直线的距离.
即,解得(舍去). …………………(2分)
设与抛物线的相切点为,又,得,.
代入直线方程得:,∴ 所以,. ……(2分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)知抛物线方程为,焦点. ………………(2分)
设,由(Ⅰ)知以为切点的切线的方程为.
令,得切线交轴的点坐标为 所以,, ∵四边形FAMB是以FA、FB为邻边作平行四边形,
∴ 因为是定点,所以点在定直线上.…(2分)
(Ⅲ)设直线,代入得, ……)得, …………………………… (2分)
,
.△的面积范围是
设椭圆的左、右顶点分别为,点在椭圆上且异于两点,为坐标原点.
(Ⅰ)若直线与的斜率之积为,求椭圆的离心率;
(Ⅱ)若,证明直线的斜率 满足
【解析】(1)解:设点P的坐标为.由题意,有 ①
由,得,
由,可得,代入①并整理得
由于,故.于是,所以椭圆的离心率
(2)证明:(方法一)
依题意,直线OP的方程为,设点P的坐标为.
由条件得消去并整理得 ②
由,及,
得.
整理得.而,于是,代入②,
整理得
由,故,因此.
所以.
(方法二)
依题意,直线OP的方程为,设点P的坐标为.
由P在椭圆上,有
因为,,所以,即 ③
由,,得整理得.
于是,代入③,
整理得
解得,
所以.
已知向量(),向量,,
且.
(Ⅰ)求向量; (Ⅱ)若,,求.
【解析】本试题主要考查了向量的数量积的运算,以及两角和差的三角函数关系式的运用。
(1)问中∵,∴,…………………1分
∵,得到三角关系是,结合,解得。
(2)由,解得,,结合二倍角公式,和,代入到两角和的三角函数关系式中就可以求解得到。
解析一:(Ⅰ)∵,∴,…………1分
∵,∴,即 ① …………2分
又 ② 由①②联立方程解得,,5分
∴ ……………6分
(Ⅱ)∵即,, …………7分
∴, ………8分
又∵, ………9分
, ……10分
∴.
解法二: (Ⅰ),…………………………………1分
又,∴,即,①……2分
又 ②
将①代入②中,可得 ③ …………………4分
将③代入①中,得……………………………………5分
∴ …………………………………6分
(Ⅱ) 方法一 ∵,,∴,且……7分
∴,从而. …………………8分
由(Ⅰ)知, ; ………………9分
∴. ………………………………10分
又∵,∴, 又,∴ ……11分
综上可得 ………………………………12分
方法二∵,,∴,且…………7分
∴. ……………8分
由(Ⅰ)知, . …………9分
∴ ……………10分
∵,且注意到,
∴,又,∴ ………………………11分
综上可得 …………………12分
(若用,又∵ ∴ ,
已知函数f(x)=sin(ωx+φ) (0<φ<π,ω>0)过点,函数y=f(x)图象的两相邻对称轴间的距离为.
(1) 求f(x)的解析式;
(2) f(x)的图象向右平移个单位后,得到函数y=g(x)的图象,求函数g(x)的单调递减区间.
【解析】本试题主要考查了三角函数的图像和性质的运用,第一问中利用函数y=f(x)图象的两相邻对称轴间的距离为.得,所以
第二问中,,
可以得到单调区间。
解:(Ⅰ)由题意得,,…………………1分
代入点,得…………1分
, ∴
(Ⅱ), 的单调递减区间为,.
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