又∵F(1.0).∴kFA=,MN⊥FA.∴kMN=-. 查看更多

 

题目列表(包括答案和解析)

已知函数f(x)=alnx-x2+1.

(1)若曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为4x-y+b=0,求实数a和b的值;

(2)若a<0,且对任意x1、x2∈(0,+∞),都|f(x1)-f(x2)|≥|x1-x2|,求a的取值范围.

【解析】第一问中利用f′(x)=-2x(x>0),f′(1)=a-2,又f(1)=0,所以曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为y=(a-2)(x-1),即(a-2)x-y+2-a=0,

由已知得a-2=4,2-a=b,所以a=6,b=-4.

第二问中,利用当a<0时,f′(x)<0,∴f(x)在(0,+∞)上是减函数,

不妨设0<x1≤x2,则|f(x1)-f(x2)|=f(x1)-f(x2),|x1-x2|=x2-x1

∴|f(x1)-f(x2)|≥|x1-x2|等价于f(x1)-f(x2)≥x2-x1

即f(x1)+x1≥f(x2)+x2,结合构造函数和导数的知识来解得。

(1)f′(x)=-2x(x>0),f′(1)=a-2,又f(1)=0,所以曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为y=(a-2)(x-1),即(a-2)x-y+2-a=0,

由已知得a-2=4,2-a=b,所以a=6,b=-4.

(2)当a<0时,f′(x)<0,∴f(x)在(0,+∞)上是减函数,

不妨设0<x1≤x2,则|f(x1)-f(x2)|=f(x1)-f(x2),|x1-x2|=x2-x1

∴|f(x1)-f(x2)|≥|x1-x2|等价于f(x1)-f(x2)≥x2-x1,即f(x1)+x1≥f(x2)+x2

令g(x)=f(x)+x=alnx-x2+x+1,g(x)在(0,+∞)上是减函数,

∵g′(x)=-2x+1=(x>0),

∴-2x2+x+a≤0在x>0时恒成立,

∴1+8a≤0,a≤-,又a<0,

∴a的取值范围是

 

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已知函数f(x)=
ax2+1
bx+c
(a,b,c∈R)
是奇函数,又f(1)=2,f(2)=
5
2

(1)求a,b,c的值;
(2)当x∈(0,+∞)时,讨论函数的单调性,并写出证明过程.

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仔细阅读下面问题的解法:
设A=[0,1],若不等式21-x+a>0在A上有解,求实数a的取值范围.
解:令f(x)=21-x+a,因为f(x)>0在A上有解.
⇒f(x)在A上的最大值大于0,
又∵f(x)在[0,1]上单调递减
⇒f(x)最大值=f(0)

=2+a>0⇒a>-2
学习以上问题的解法,解决下面的问题,已知:函数f(x)=x2+2x+3(-2≤x≤-1).
①求f(x)的反函数f-1(x)及反函数的定义域A;
②设B={x|lg
10-x
10+x
>lg(2x+a-5)}
,若A∩B≠∅,求实数a的取值范围.

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定义在R上的函数f(x),对任意的实数x,y,恒有f(x)+f(y)=f(x+y),且当x>0时,f(x)<0.又f(1)=-
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(1)求证:f(x)为奇函数;
(2)求证:f(x)在R上是减函数;
(2)求函数f(x)在[-3,3]上的值域.

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(08年北师大附中月考)已知函数f (x ) = kx + bk≠0),f (4) = 10,又f (1),f (2),f (6)成等比数列.

(1)求函数f (x )的解析式;

(2)设an = 2f (n ) + 2n,求数列{an}的前n项和Sn.

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