题目列表(包括答案和解析)
已知函数的图象过坐标原点O,且在点处的切线的斜率是.
(Ⅰ)求实数的值;
(Ⅱ)求在区间上的最大值;
(Ⅲ)对任意给定的正实数,曲线上是否存在两点P、Q,使得是以O为直角顶点的直角三角形,且此三角形斜边中点在轴上?说明理由.
【解析】第一问当时,,则。
依题意得:,即 解得
第二问当时,,令得,结合导数和函数之间的关系得到单调性的判定,得到极值和最值
第三问假设曲线上存在两点P、Q满足题设要求,则点P、Q只能在轴两侧。
不妨设,则,显然
∵是以O为直角顶点的直角三角形,∴
即 (*)若方程(*)有解,存在满足题设要求的两点P、Q;
若方程(*)无解,不存在满足题设要求的两点P、Q.
(Ⅰ)当时,,则。
依题意得:,即 解得
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,
①当时,,令得
当变化时,的变化情况如下表:
0 |
|||||
— |
0 |
+ |
0 |
— |
|
单调递减 |
极小值 |
单调递增 |
极大值 |
单调递减 |
又,,。∴在上的最大值为2.
②当时, .当时, ,最大值为0;
当时, 在上单调递增。∴在最大值为。
综上,当时,即时,在区间上的最大值为2;
当时,即时,在区间上的最大值为。
(Ⅲ)假设曲线上存在两点P、Q满足题设要求,则点P、Q只能在轴两侧。
不妨设,则,显然
∵是以O为直角顶点的直角三角形,∴
即 (*)若方程(*)有解,存在满足题设要求的两点P、Q;
若方程(*)无解,不存在满足题设要求的两点P、Q.
若,则代入(*)式得:
即,而此方程无解,因此。此时,
代入(*)式得: 即 (**)
令 ,则
∴在上单调递增, ∵ ∴,∴的取值范围是。
∴对于,方程(**)总有解,即方程(*)总有解。
因此,对任意给定的正实数,曲线上存在两点P、Q,使得是以O为直角顶点的直角三角形,且此三角形斜边中点在轴上
在平面直角坐标系中,圆M∶(x-1)2+(y-1)2=5在点A(3,2)处的切线方程可如下求解:设P(x,y)为切线上任一点,则由向量方法可得切线方程为:2x+y-8=0,类似地,在空间直角坐标系中,球M∶(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2=6在点A(3,2,2)处的切面方程为________.
设椭圆的左、右顶点分别为,点在椭圆上且异于两点,为坐标原点.
(Ⅰ)若直线与的斜率之积为,求椭圆的离心率;
(Ⅱ)若,证明直线的斜率 满足
【解析】(1)解:设点P的坐标为.由题意,有 ①
由,得,
由,可得,代入①并整理得
由于,故.于是,所以椭圆的离心率
(2)证明:(方法一)
依题意,直线OP的方程为,设点P的坐标为.
由条件得消去并整理得 ②
由,及,
得.
整理得.而,于是,代入②,
整理得
由,故,因此.
所以.
(方法二)
依题意,直线OP的方程为,设点P的坐标为.
由P在椭圆上,有
因为,,所以,即 ③
由,,得整理得.
于是,代入③,
整理得
解得,
所以.
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