[例1]在正方体ABCD-ABCD中,O是底面ABCD的中心.M.N分别是棱DD.DC的中点.则直线OM( ). A .是AC和MN的公垂线. B .垂直于AC但不垂直于MN. C .垂直于MN——青夏教育精英家教网—

[例1]在正方体ABCD-ABCD中,O是底面ABCD的中心.M.N分别是棱DD.DC的中点.则直线OM( ). A .是AC和MN的公垂线. B .垂直于AC但不垂直于MN. C .垂直于MN.但不垂直于AC. D .与AC.MN都不垂直. 错解:B. 错因:学生观察能力较差.找不出三垂线定理中的射影. 正解:A. [例2]如图.已知在空间四边形ABCD中,E,F分别是AB,AD的中点.G,H分别是BC,CD上的点,且,求证:直线EG,FH,AC相交于一点. 错解:证明:.F分别是AB,AD的中点, ∥BD,EF=BD, 又, GH∥BD,GH=BD, 四边形EFGH是梯形.设两腰EG,FH相交于一点T, ,F分别是AD.AC与FH交于一点. 直线EG,FH,AC相交于一点正解:证明:.F分别是AB,AD的中点, ∥BD,EF=BD, 又, GH∥BD,GH=BD, 四边形EFGH是梯形.设两腰EG,FH相交于一点T, 平面ABC,FH平面ACD, T面ABC,且T面ACD,又平面ABC平面ACD=AC, ,直线EG,FH,AC相交于一点T. [例3]判断:若a,b是两条异面直线.P为空间任意一点.则过P点有且仅有一个平面与a,b都平行. 错解:认为正确. 错因:空间想像力不够.忽略P在其中一条线上.或a与P确定平面恰好与b平行.此时就不能过P作平面与a平行. 正解:假命题． [例4] 如图.在四边形ABCD中.已知AB∥CD.直线AB.BC.AD.DC分别与平面α相交于点E.G.H.F．求证:E.F.G.H四点必定共线．分析:先确定一个平面.然后证明相关直线在这个平面内.最后证明四点共线．证明 ∵ AB//CD. AB.CD确定一个平面β．又∵AB ∩α＝E.ABβ. Eα.Eβ. 即 E为平面α与β的一个公共点．同理可证F.G.H均为平面α与β的公共点． ∵ 两个平面有公共点.它们有且只有一条通过公共点的公共直线. ∴ E.F.G.H四点必定共线．点评:在立体几何的问题中.证明若干点共线时.先证明这些点都是某两平面的公共点.而后得出这些点都在二平面的交线上的结论． [例5]如图.已知平面α.β.且α∩β＝．设梯形ABCD中.AD∥BC.且ABα.CDβ.求证:AB.CD.共点．分析:AB.CD是梯形ABCD的两条腰.必定相交于一点M.只要证明M在上.而是两个平面α.β的交线.因此.只要证明M∈α.且M∈β即可．证明: ∵ 梯形ABCD中.AD∥BC. ∴AB.CD是梯形ABCD的两条腰． ∴ AB.CD必定相交于一点. 设 AB ∩CD＝M．又∵ ABα.CDβ.∴ M∈α.且M∈β． ∴ M∈α∩β．又∵ α∩β＝.∴ M∈. 即 AB.CD.共点．点评:证明多条直线共点时.与证明多点共线是一样的． [例6]已知:a.b.c.d是不共点且两两相交的四条直线.求证:a.b.c.d共面．分析:弄清楚四条直线不共点且两两相交的含义:四条直线不共点.包括有三条直线共点的情况,两两相交是指任何两条直线都相交．在此基础上.根据平面的性质.确定一个平面.再证明所有的直线都在这个平面内．证明 1º若当四条直线中有三条相交于一点.不妨设a.b.c相交于一点 A ∴ 直线d和A确定一个平面α．又设直线d与a.b.c分别相交于E.F.G. 则 A.E.F.G∈α． ∵ A.E∈α.A.E∈a. ∴ aα．同理可证 bα.cα． ∴ a.b.c.d在同一平面α内． 2º当四条直线中任何三条都不共点时.如图． ∵ 这四条直线两两相交. 则设相交直线a.b确定一个平面α．设直线c与a.b分别交于点H.K. 则 H.K∈α．又∵ H.K∈c.∴ cα．同理可证 dα． ∴ a.b.c.d四条直线在同一平面α内．点评:证明若干条线共面的一般步骤是:首先由题给条件中的部分线确定一个平面.然后再证明其余的线均在这个平面内．本题最容易忽视“三线共点这一种情况．因此.在分析题意时.应仔细推敲问题中每一句话的含义． [例7] 在立方体ABCD-A1B1C1D1中. (1)找出平面AC的斜线BD1在平面AC内的射影, (2)直线BD1和直线AC的位置关系如何? (3)直线BD1和直线AC所成的角是多少度? 解:(1)连结BD, 交AC于点O . (2)BD1和AC是异面直线. (3)过O作BD1的平行线交DD1于点M.连结MA.MC.则∠MOA或其补角即为异面直线AC和BD1所成的角. 不难得到MA＝MC.而O为AC的中点.因此MO⊥AC.即∠MOA＝90°. ∴异面直线BD1与AC所成的角为90°. [例8] 已知:在直角三角形ABC中.A为直角.PA⊥平面ABC.BD⊥PC.垂足为D.求证:AD⊥PC 证明:∵ PA ⊥平面ABC∴ PA⊥BA 又∵ BA⊥AC ∴ BA⊥平面PAC ∴ AD是BD在平面PAC内的射影又∵ BD⊥PC ∴ AD⊥PC. 四.典型习题导练1．如图, P是△ABC所在平面外一点.连结PA.PB.PC后.在包括AB.BC.CA的六条棱所在的直线中.异面直线的对数为( ) A.2对 B.3对 C.4对 D.6对【查看更多】

题目列表(包括答案和解析)

在棱长为2的正方体ABCD—A₁B₁C₁D₁中,O是底面ABCD的中心,E、F分别是CC₁、AD的中点,用空间向量的方法求线段D₁F、OE、EF的长.

查看答案和解析>>

在正方体ABCD-ABCD,O是底面ABCD的中心，M、N分别是棱DD、DC的中点，则直线OM( )