已知f(x)=,a≠b, 求证:|f|＜|a-b|. 证明 方法一 ∵f(a)=,f(b)= , ∴原不等式化为|-|＜|a-b|. ∵|-|≥0.|a-b|≥0. ∴要证|-|＜|a-b|成立, 只需证(-)2＜(a-b)2. 即证1+a2+1+b2-2＜a2-2ab+b2, 即证2+a2+b2-2＜a2-2ab+b2. 只需证2+2ab＜2. 即证1+ab＜. 当1+ab＜0时.∵＞0, ∴不等式1+ab＜成立. 从而原不等式成立. 当1+ab≥0时.要证1+ab＜, 只需证2＜()2, 即证1+2ab+a2b2＜1+a2+b2+a2b2,即证2ab＜a2+b2. ∵a≠b,∴不等式2ab＜a2+b2成立.∴原不等式成立. 方法二 ∵|f|=|-| ==. 又∵|a+b|≤|a|+|b|=+＜+. ∴＜1. ∵a≠b,∴|a-b|＞0.∴|f|＜|a-b|. 【
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