如下图.已知四棱锥P-ABCD.PB⊥AD.侧面PAD为边长等于2的正三角形.底面ABCD为菱形.侧面PAD与底面ABCD所成的二面角为120°. (1)求点P到平面ABCD的距离, (2)求面APB与面CPB所成二面角的大小. 解(1):如下图.作PO⊥平面ABCD.垂足为点O.连结OB.OA.OD.OB与AD交于点E.连结PE. ∵AD⊥PB.∴AD⊥OB. ∵PA=PD.∴OA=OD. 于是OB平分AD.点E为AD的中点.∴PE⊥AD.由此知∠PEB为面PAD与面ABCD所成二面角的平面角.∴∠PEB=120°.∠PEO=60°.由已知可求得PE=. ∴PO=PE·sin60°=×=.即点P到平面ABCD的距离为. (2)解法一:如下图建立直角坐标系.其中O为坐标原点.x轴平行于DA. P(0.0.).B(0..0).PB中点G的坐标为(0..).连结AG. 又知A(1..0).C(-2..0). 由此得到 =(1.-.-). =(0..-).=. 于是有·=0.·=0. ∴⊥.⊥. .的夹角θ等于所求二面角的平面角. 于是cosθ==-. ∴所求二面角的大小为π-arccos. 解法二:如下图.取PB的中点G.PC的中点F.连结EG.AG.GF. 则AG⊥PB.FG∥BC.FG=BC. ∵AD⊥PB.∴BC⊥PB.FG⊥PB.∴∠AGF是所求二面角的平面角. ∵AD⊥面POB.∴AD⊥EG. 又∵PE=BE.∴EG⊥PB.且∠PEG=60°. 在Rt△PEG中.EG=PE·cos60°=. 在Rt△GAE中.AE=AD=1.于是tan∠GAE== . 又∠AGF=π-∠GAE. ∴所求二面角的大小为π-arctan. 【
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