例1．已知.求(1),(2)的值. 解:(1), (2) . 说明:利用齐次式的结构特点(如果不具备.通过构造的办法得到).进行弦.切互化.就会使解题过程简化. 例2．求函数的值域. 解:设.则原函数可化为 .因为.所以当时..当时.. 所以.函数的值域为. 例3．已知函数. (1)求的最小正周期.的最大值及此时x的集合, (2)证明:函数的图像关于直线对称. 解: (1)所以的最小正周期.因为. 所以.当.即时.最大值为, (2)证明:欲证明函数的图像关于直线对称.只要证明对任意.有成立. 因为. . 所以成立.从而函数的图像关于直线对称. 例4．已知函数y=cos2x+sinx·cosx+1 , (1)当函数y取得最大值时.求自变量x的集合, (2)该函数的图像可由y=sinx的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到? 解:(1)y=cos2x+sinx·cosx+1= (2cos2x-1)+ ++1 =cos2x+sin2x+=(cos2x·sin+sin2x·cos)+ =sin(2x+)+ 所以y取最大值时.只需2x+=+2kπ,.即 x=+kπ,. 所以当函数y取最大值时.自变量x的集合为{x|x=+kπ,k∈Z} (2)将函数y=sinx依次进行如下变换: (i)把函数y=sinx的图像向左平移.得到函数y=sin(x+)的图像, (ii)把得到的图像上各点横坐标缩短到原来的倍.得到函数y=sin(2x+)的图像, (iii)把得到的图像上各点纵坐标缩短到原来的倍.得到函数y=sin(2x+)的图像, (iv)把得到的图像向上平移个单位长度.得到函数y=sin(2x+)+的图像. 综上得到y=cos2x+sinxcosx+1的图像. 说明:本题是2000年全国高考试题.属中档偏容易题.主要考查三角函数的图像和性质.这类题一般有两种解法:一是化成关于sinx,cosx的齐次式.降幂后最终化成y=sin (ωx+)+k的形式.二是化成某一个三角函数的二次三项式.本题(1)还可以解法如下:当cosx=0时.y=1,当cosx≠0时.y=+1=+1 化简得:2(y-1)tan2x-tanx+2y-3=0 ∵tanx∈R.∴△=3-8 ≥0,解之得:≤y≤ ∴ymax=.此时对应自变量x的值集为{x|x=kπ+,k∈Z} 例5．已知函数 (Ⅰ)将f(x)写成的形式.并求其图象对称中心的横坐标, (Ⅱ)如果△ABC的三边a.b.c满足b2=ac.且边b所对的角为x.试求x的范围及此时函数f(x)的值域. 解: (Ⅰ)由=0即即对称中心的横坐标为 (Ⅱ)由已知b2=ac 即的值域为. 综上所述. . 值域为 . 说明:本题综合运用了三角函数.余弦定理.基本不等式等知识.还需要利用数形结合的思想来解决函数值域的问题.有利于培养学生的运算能力.对知识进行整合的能力. 例6．在中.a.b.c分别是角A.B.C的对边.且. (1)求的值, (2)若.且a=c.求的面积. 解:(1)由正弦定理及.有. 即.所以. 又因为..所以.因为.所以.又.所以. (2)在中.由余弦定理可得.又. 所以有.所以的面积为 . 例7．已知向量 .且. (1)求函数的表达式, (2)若.求的最大值与最小值. 解:(1)...又. 所以. 所以.即, 可得.令导数.解得.列表如下: t -1 1 (1.3) 导数 0 - 0 + 极大值递减极小值递增而所以. 例8．已知向量. (1) 求的值, 若的值. 解:(1)因为所以又因为.所以. 即, (2) . 又因为.所以 . .所以.所以例9．平面直角坐标系有点 (1) 求向量和的夹角的余弦用表示的函数, (2) 求的最值. 解:(1). 即 (2) . 又 . . . . 说明:三角函数与向量之间的联系很紧密.解题时要时刻注意. 【查看更多】

（1）已知函数f（x）=a^x-x（a＞1）．
①若f（3）＜0，试求a的取值范围；
②写出一组数a，x₀（x₀≠3，保留4位有效数字），使得f（x₀）＜0成立；
（2）若曲线y=x+ $数学公式$ （p≠0）上存在两个不同点关于直线y=x对称，求实数p的取值范围；
（3）当0＜a＜1时，就函数y=a^x与y=log_ax的图象的交点情况提出你的问题，并加以解决．（说明：①函数f（x）=xlnx有如下性质：在区间 $数学公式$ 上单调递减，在区间 $数学公式$ 上单调递增．解题过程中可以利用；②将根据提出和解决问题的不同层次区别给分．）

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解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

某造船公司年造船量是20艘，已知造船x艘的产值函数为R(x)＝3700x＋45x²－10x³(单位：万元)，成本函数为C(x)＝460x＋5000(单位：万元)，又在经济学中，函数f(x)的边际函数Mf(x)定义为Mf(x)＝f(x＋1)－f(x)．

(Ⅰ)求利润函数P(x)及边际利润函数MP(x)；(提示：利润＝产值－成本)

(Ⅱ)问年造船量安排多少艘时，可使公司造船的年利润最大？

(Ⅲ)求边际利润函数MP(x)的单调递减区间，并说明单调递减在本题中的实际意义是什么？

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定义：对于任意x∈[0，1]，函数f（x）≥0恒成立，且当x₁≥0，x₂≥0，x₁+x₂≤1时，总有f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂）成立，则称f（x）为G函数．已知函数g（x）=x²与h（x）=a-2^x-1是定义在[0，1]上的函数．
（1）试问函数g（x）是否为G函数？并说明理由；
（2）若函数h（x）是G函数，求实数a的值；
（3）在（2）的条件下，利用函数图象讨论方程g（2^x）+h（-2x+1）=m（m∈R）解的个数情况．

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定义：对于任意x∈[0，1]，函数f（x）≥0恒成立，且当x₁≥0，x₂≥0，x₁+x₂≤1时，总有f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂）成立，则称f（x）为G函数．已知函数g（x）=x²与h（x）=a-2^x-1是定义在[0，1]上的函数．
（1）试问函数g（x）是否为G函数？并说明理由；
（2）若函数h（x）是G函数，求实数a的值；
（3）在（2）的条件下，利用函数图象讨论方程g（2^x）+h（-2x+1）=m（m∈R）解的个数情况．

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已知R，函数．