18．证明不等式可以运用哪些常用的数学方法? 答:(1)分析法．从要证明的不等式出发.寻找使这个不等式成立的某一充分条件.如此逐步往前追溯.一直追溯到已知条件或一些真命题为止．例如要证a2+b2≥2ab.我们通过分析知道.a2+b2≥2ab的某一充分条件是a2-2ab+b2≥0.即(a-b)2≥0.因此只要证明(a-b)2≥0就行了．由于(a-b)2≥0是真命题.所以a2+b2≥2ab成立．分析法的证明过程表现为一连串的“要证--只要证-- .最后推至已知条件或真命题． (2)综合法．从已知的不等式或定理出发.逐步推出所证的不等式成立．例如要证a2+b2≥2ab.我们从(a-b)2≥0.得a2-2ab+b2≥0.移项得a2+b2≥2ab．综合法的证明过程表现为一连串的“因为--所以-- .可用一连串的“ 来代替． 综合法的证明过程是分析法的思考过程的逆推.而分析法的证明过程恰恰是综合法的思考过程．当我们不易找到作为出发点的不等式来证明结论时.通常改用分析法来证明． (3)比较法．根据a＞b与a-b＞0等价.所以要证甲式大于乙式.只要证明甲式减去乙式所得的差式在两式中的字母的可取值范围内取正值就可以了．这就是比差法．还有一种比较法是比商法.例如已知甲式.乙式在其中字母的可取值范围内均取正值.那么要证甲式大于乙式.只要证明甲式除以乙式所得的商式在这一字母取值范围内均取大于1的值就可以了．比商法较为复杂.使用时务必注意字母的取值范围． (4)逆证法．这是分析法的一种特殊情况.即从要证明的等式出发.寻找使这个不等式成立的充要条件.如此逐步往前追溯.一直追溯到已知条件或一些真命题为止．逆证法的证明过程表现为一连串的“即 .可用一连串的“? 来代替.最后推至已知条件或真命题． (5)放缩法．这也是分析法的一种特殊情况.它的根据是不等式关系的传递性--a≤b.b≤c.则a≤c.所以要证a≤c.只要证明“大于或等于a 的b≤c就行了． (6)反证法．先假定要证的不等式的反面成立.然后推出与已知条件相矛盾的结论.从而断定反证假定是错误的．因而要证的不等式一定成立． (7)穷举法．对要证的不等式按已知条件分成各种情况一一加以证明(防止重复或遗漏某一可能情况)． 要注意:在证明不等式时.应灵活运用上述方法.并通过运用多种方法来提高他们的思维能力． 19．怎样教讨论曲线的性质? 答:在中学里.除了直线这种简单的情况外.对于较为简单的曲线.讨论其几何性质一般包括以下四个方面: (1)确定曲线的范围．由曲线方程F(x.y)＝0分别确定变量x与y的取值范围.从而分别判断曲线的左.右与上.下部分的“顶点 的分布情况． (2)判断有没有对称性．在曲线方程F(x.y)＝0中.如果把x.方程不变.那么曲线关于y(或x)轴对称,如果把x与y同时换成-x与-y.方程不变.那么曲线关于原点对称(这时曲线关于x轴或y轴却不一定对称)． (3)求出在x轴上的“截距 (即求出曲线与x轴的交点的横坐标)和y轴上的“截距 (即求出曲线与y轴的交点的纵坐标)．这可以通过解由F所组成的方程组求得．注意曲线与坐标轴的交点不一定是曲线的“顶点 ． (4)判断有没有渐近线．对于椭圆.双曲线.抛物线等圆锥曲线.还要研究它的离心率在数值上有什么特征.等等． 20．求轨迹方程的基本方法是什么? 答:轨迹是动点按照一定的规律即轨迹条件运动而形成的.这个轨迹条件一旦用动点坐标的数学表达式表示出来.轨迹方程就产生了．因此.求轨迹方程的基本方法是(图1) 图1 这里所谓的“坐标化 .就是把轨迹条件中的各个数.量用动点坐标表示出来．轨迹条件可以表现为不同的形式.其中使它转化为有利于坐标化的形式正是困难所在． 21．关于直线和圆锥曲线的关系.主要有哪些问题? 答:(1)直线和圆锥曲线位置关系的制定, (2)切线方程及与相切有关的问题, (3)弦长及与弦长有关的问题, (4)弦的中点及与此有关的问题, (5)曲线关于直线对称的问题． 22．在解决与圆锥曲线有关的问题时.怎样帮助学生运用函数的思想? 答:不少与圆锥曲线有关的问题中的各个数量在运动变化时.都是相互联系.相互制约的.它们之间构成函数关系．这类问题若用函数思想来分析.寻找解题思路.会有很好的效果． 【
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