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    例1 求下列函数的周期: (1)y＝3cosx.x∈R, (2)y＝sin2x.x∈R, (3)y＝2sin(x-).x∈R 解:(1)∵y＝cosx的周期是2π ∴只有x增到x+2π时.函数值才重复出现 ∴y＝3cosx.x∈R的周期是2π (2)令Z＝2x.那么x∈R必须并且只需Z∈R.且函数y＝sinZ.Z∈R的周期是2π 即Z+2π＝2x+2π＝2(x+π)． 只有当x至少增加到x+π.函数值才能重复出现 ∴y＝sin2x的周期是π (3)令Z＝x-.那么x∈R必须并且只需Z∈R.且函数y＝2sinZ.Z∈R的周期是2π.由于Z+2π＝(x-)+2π＝ (x+4π)-.所以只有自变量x至少要增加到x+4π.函数值才能重复取得.即T＝4π是能使等式2sin［ (x+T)-］＝2sin(x-)成立的最小正数 从而y＝2sin(x-).x∈R的周期是4π 从上述可看出.这些函数的周期仅与自变量x的系数有关 一般地.函数y＝Asin(ωx+).x∈R及函数y＝Acos(ωx+).x∈R(其中A.ω.为常数.且A≠0.ω＞0)的周期T＝ 根据这个结论.我们可以由这类函数的解析式直接写出函数的周期.如对于上述例子: (1)T＝2π.(2)T＝＝π.(3)T＝2π÷＝4π 例2不通过求值.指出下列各式大于0还是小于0 (1)sin(-)-sin(-), (2)cos(-)-cos(-)． 解:(1)∵-＜-＜-＜． 且函数y＝sinx.x∈［-.］是增函数 ∴sin(-)＜sin(-) 即sin(-)-sin(-)＞0 (2)cos(-)＝cos＝cos cos(-)＝cos＝cos ∵0＜＜＜π 且函数y＝cosx.x∈［0.π］是减函数 ∴cos＜cos 即cos-cos＜0 ∴cos(-)-cos(-)＜0 例3 求函数y＝的值域 解:由已知:cosx＝||＝|cosx|≤1()2≤13y2+2y-8≤0 ∴-2≤y≤ ∴ymax＝.ymin＝-2 例4f(x)＝sinx图象的对称轴是 解:由图象可知: 对称轴方程是:x＝kπ+(k∈Z) 例5(1)函数y＝sin(x+)在什么区间上是增函数? (2)函数y＝3sin(-2x)在什么区间是减函数? 解:(1)函数y＝sinx在下列区间上是增函数: 2kπ-＜x＜2kπ+ (k∈Z) ∴函数y＝sin(x+)为增函数.当且仅当2kπ-＜x+＜2kπ+ 即2kπ-＜x＜2kπ+(k∈Z)为所求 (2)∵y＝3sin(-2x)＝-3sin(2x-) 由2kπ-≤2x-≤2kπ+ 得kπ-≤x≤kπ+ (k∈Z)为所求 或:令u＝-2x.则u是x的减函数 又∵y＝sinu在［2kπ-.2kπ+］(k∈Z)上为增函数. ∴原函数y＝3sin(-2x)在区间［2kπ-.2kπ+］上递减 设2kπ-≤-2x≤2kπ+ 解得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z) ∴原函数y＝3sin(-2x)在［kπ-.kπ+］(k∈Z)上单调递减 【查看更多】

     

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