设双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的右顶点为A，P是双曲线上异于顶点的一个动点，从A引双曲线的两条渐近线的平行线与直线OP分别交于Q和R两点．（如图）
（1）证明：无论P点在什么位置，总有|

OP

|2=|

OQ

•

OR

|(O为坐标原点)；
（2）若以OP为边长的正方形面积等于双曲线实、虚轴围成的矩形面积，求双曲线离心率的取值范围．

设双曲线的左、右顶点分别为A₁、A₂，点P（x₁，y₁）、Q（x₂，-y₁）是双曲线上不同的两个动点。
（1）求直线A₁P与A₂Q交点的轨迹E的方程；
（2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与轨迹E恒有两个交点A、B，且？若存在，求出该圆的方程；若不存在，说明理由。