题型1:等比数列的概念例1．“公差为0的等差数列是等比数列 ,“公比为的等比数列一定是递减数列 ,“a,b,c三数成等比数列的充要条件是b2=ac ,“a,b,c三数成等差数列的充要条件是2b=a——青夏教育精英家教网—

题型1:等比数列的概念例1．“公差为0的等差数列是等比数列 ,“公比为的等比数列一定是递减数列 ,“a,b,c三数成等比数列的充要条件是b2=ac ,“a,b,c三数成等差数列的充要条件是2b=a+c .以上四个命题中.正确的有( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个解析:四个命题中只有最后一个是真命题. 命题1中未考虑各项都为0的等差数列不是等比数列, 命题2中可知an+1=an×.an+1<an未必成立.当首项a1<0时.an<0.则an>an.即an+1>an.此时该数列为递增数列, 命题3中.若a=b=0.c∈R.此时有.但数列a,b,c不是等比数列.所以应是必要而不充分条件.若将条件改为b=.则成为不必要也不充分条件. 点评:该题通过一些选择题的形式考察了有关等比数列的一些重要结论.为此我们要注意一些有关等差数列.等比数列的重要结论. 例2．命题1:若数列{an}的前n项和Sn=an+b.则数列{an}是等比数列, 命题2:若数列{an}的前n项和Sn=an2+bn+c.则数列{an}是等差数列, 命题3:若数列{an}的前n项和Sn=na-n.则数列{an}既是等差数列.又是等比数列,上述三个命题中.真命题有( ) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个解析: 由命题1得.a1=a+b.当n≥2时.an=Sn-Sn-1=(a-1)·an-1.若{an}是等比数列.则=a.即=a.所以只有当b=-1且a≠0时.此数列才是等比数列. 由命题2得.a1=a+b+c.当n≥2时.an=Sn-Sn-1=2na+b-a.若{an}是等差数列.则a2-a1=2a.即2a-c=2a.所以只有当c=0时.数列{an}才是等差数列. 由命题3得.a1=a-1.当n≥2时.an=Sn-Sn-1=a-1.显然{an}是一个常数列.即公差为0的等差数列.因此只有当a-1≠0,即a≠1时数列{an}才又是等比数列. 点评:等比数列中通项与求和公式间有很大的联系.上述三个命题均涉及到Sn与an的关系.它们是an=.正确判断数列{an}是等差数列或等比数列.都必须用上述关系式.尤其注意首项与其他各项的关系.上述三个命题都不是真命题.选择A. 题型2:等比数列的判定例3．已知数列{cn}.其中cn＝2n+3n.且数列{cn+1-pcn}为等比数列.求常数p,(Ⅱ)设{an}.{bn}是公比不相等的两个等比数列.cn=an+bn.证明数列{cn}不是等比数列. 解析:(Ⅰ)解:因为{cn+1-pcn}是等比数列. 故有:(cn+1-pcn)2＝(cn+2-pcn+1)(cn-pcn-1). 将cn＝2n+3n代入上式.得: ［2n+1+3n+1-p(2n+3n)］2＝［2n+2+3n+2-p(2n+1+3n+1)］·［2n+3n-p(2n-1+3n-1)］. 即［(2-p)2n+(3-p)3n］2 ＝［(2-p)2n+1+(3-p)3n+1］［(2-p)2n-1+(3-p)3n-1］. 整理得(2-p)(3-p)·2n·3n＝0.解得p=2或p=3. (Ⅱ)证明:设{an}.{bn}的公比分别为p.q.p≠q.cn=an+bn. 为证{cn}不是等比数列只需证c22≠c1·c3. 事实上.c22＝(a1p+b1q)2＝a12p2+b12q2+2a1b1pq. c1·c3＝(a1+b1)(a1p2+b1q2)＝a12p2+b12q2+a1b1(p2+q2). 由于p≠q.p2+q2＞2pq.又a1.b1不为零. 因此c22≠c1·c3.故{cn}不是等比数列. 点评:本题主要考查等比数列的概念和基本性质.推理和运算能力. 例4．如图3-1.在边长为l的等边△ABC中.圆O1为△ABC的内切圆.圆O2与圆O1外切.且与AB.BC相切.-.圆On+1与圆On外切.且与AB.BC相切.如此无限继续下去.记圆On的面积为an(n∈N*).证明{an}是等比数列, 证明:记rn为圆On的半径.则r1=tan30°=.=sin30°=.所以rn=rn-1(n≥2).于是a1=πr12=.故{an}成等比数列. 点评:该题考察实际问题的判定.需要对实际问题情景进行分析.最终对应数值关系建立模型加以解析. 题型3:等比数列的通项公式及应用例5．一个等比数列有三项.如果把第二项加上4.那么所得的三项就成为等差数列.如果再把这个等差数列的第三项加上32.那么所得的三项又成为等比数列.求原来的等比数列. 解析:设所求的等比数列为a.aq.aq2, 则2=a+aq2.且2=a(aq2+32), 解得a=2.q=3或a=.q=-5, 故所求的等比数列为2.6,18或.-.. 点评:第一种解法利用等比数列的基本量.先求公比.后求其它量.这是解等差数列.等比数列的常用方法.其优点是思路简单.实用.缺点是有时计算较繁. 例6．已知正项数列.其前项和满足且成等比数列.求数列的通项解析:∵10Sn=an2+5an+6. ① ∴10a1=a12+5a1+6.解之得a1=2或a1=3. 又10Sn-1=an-12+5an-1+6.② 由①-②得 10an=(an2-an-12)+6(an-an-1).即(an+an-1)(an-an-1-5)=0 ∵an+an-1>0 , ∴an-an-1=5 . 当a1=3时.a3=13.a15=73.a1, a3,a15不成等比数列 ∴a1≠3, 当a1=2时,.a3=12. a15=72.有 a32=a1a15 , ∴a1=2, ∴an=5n-3. 点评:该题涉及等比数列的求和公式与等比数列通项之间的关系.最终求得结果. 题型4:等比数列的求和公式及应用例7．在等比数列中,,前项和为,若数列也是等比数列.则等于( ) A． B． C． D．设.则等于( ) A． B． C． D．设等比数列{an}的前n项和为Sn.若S3+S6＝2S9.求数列的公比q,解析:(1)因数列为等比.则.因数列也是等比数列. 则即.所以.故选择答案C. (2)D, (3)解:若q=1.则有S3=3a1.S6=6a1.S9=9a1. 因a1≠0.得S3+S6≠2S9.显然q=1与题设矛盾.故q≠1. 由S3+S6=2S9.得.整理得q3(2q6-q3-1)=0.由q≠0.得2q6-q3-1=0.从而(2q3+1)(q3-1)=0.因q3≠1.故q3=-.所以q=-. 点评:对于等比数列求和问题要先分清数列的通项公式.对应好首项和公比求出最终结果即可. 例8．设{an}为等差数列.{bn}为等比数列.a1＝b1＝1.a2+a4＝b3.b2b4＝a3．分别求出{an}及{bn}的前10项的和S10及T10, (2)(2001全国春季北京.安徽.20)在1与2之间插入n个正数a1.a2.a3--.an.使这n+2个数成等比数列,又在1与2之间插入n个正数b1.b2.b3.--.bn.使这n+2个数成等差数列.记An＝a1a2a3--an.Bn＝b1+b2+b3+--+bn. (Ⅰ)求数列{An}和{Bn}的通项, (Ⅱ)当n≥7时.比较An与Bn的大小.并证明你的结论. 已知{an}是由非负整数组成的数列.满足a1＝0.a2＝3. an+1an＝(an-1+2)(an-2+2).n＝3.4.5.-． (Ⅰ)求a3, (Ⅱ)证明an＝an-2+2.n＝3.4.5.-, (Ⅲ)求{an}的通项公式及其前n项和Sn. 解析:(1)∵{an}为等差数列.{bn}为等比数列. ∴a2+a4＝2a3.b2b4＝b32．已知a2+a4＝b3.b2b4＝a3. ∴b3＝2a3.a3＝b32．得 b3＝2b32． ∵b3≠0 ∴b3＝.a3＝．由a1＝1.a3＝知{an}的公差为d＝. ∴S10＝10a1+．由b1＝1.b3＝知{bn}的公比为q＝或q＝．当q＝时.. 当q＝时.. 设公比为q.公差为d.等比数列1.a1.a2.--.an.2.等差数列1.b1.b2.--.bn.2. 则A1＝a1＝1·q A2＝1·q·1·q2 A3＝1·q·1·q2·1·q3 又∵an+2＝1·qn+1＝2得qn+1＝2. An＝q·q2-qn＝q(n＝1.2.3-) 又∵bn+2＝1+(n+1)d＝2 ∴(n+1)d＝1 B1＝b1＝1+d B2＝b2+b1＝1+d+1+2d Bn＝1+d+-+1+nd＝n (Ⅱ)An＞Bn.当n≥7时证明:当n＝7时.23．5＝8·＝An Bn＝×7.∴An＞Bn 设当n＝k时.An＞Bn.则当n＝k+1时. 又∵Ak+1＝· 且Ak＞Bk ∴Ak+1＞·k ∴Ak+1-Bk+1＞又∵k＝8.9.10- ∴Ak+1-Bk+1＞0.综上所述.An＞Bn成立. 解:由题设得a3a4＝10.且a3.a4均为非负整数.所以a3的可能的值为1.2.5.10．若a3＝1.则a4＝10.a5＝.与题设矛盾．若a3＝5.则a4＝2.a5＝.与题设矛盾．若a3＝10.则a4＝1.a5＝60.a6＝.与题设矛盾. 所以a3＝2. (Ⅱ)用数学归纳法证明: ①当n＝3.a3＝a1+2.等式成立, ②假设当n＝k(k≥3)时等式成立.即ak＝ak-2+2,由题设ak+1ak＝(ak-1+2)·(ak-2+2).因为ak＝ak-2+2≠0.所以ak+1＝ak-1+2. 也就是说.当n＝k+1时.等式ak+1＝ak-1+2成立, 根据①和②.对于所有n≥3.有an+1=an-1+2. (Ⅲ)解:由a2k-1＝a2(k-1)-1+2.a1＝0.及a2k＝a2(k-1)+2.a2＝3得a2k-1＝2(k-1).a2k＝2k+1.k＝1.2.3.-.即an＝n+(-1)n.n＝1.2.3.-. 所以Sn＝点评:本小题主要考查数列与等差数列前n项和等基础知识.以及准确表述.分析和解决问题的能力. 题型5:等比数列的性质例9．在各项都为正数的等比数列{an}中.首项a1＝3.前三项和为21.则a3+a4+a5＝( ) 72 189 在等差数列{an}中.若a10＝0.则有等式a1+a2+-+an=a1+a2+-+a19-n(n＜19.n∈N成立.类比上述性质.相应地:在等比数列{bn}中.若b9＝1.则有等式成立. 解析:(1)答案:C,解:设等比数列{an}的公比为q.由题意得:a1+a2+a3=21,即3+3q+3q2=21,q2+q-6=0.求得q=2.所以a3+a4+a5=q2(a1+a2+a3)=4故选C. (2)答案:b1b2-bn＝b1b2-b17-n(n＜17.n∈N*), 解:在等差数列{an}中.由a10＝0.得a1+a19＝a2+a18＝-＝an+a20-n＝an+1+a19-n＝2a10＝0. 所以a1+a2+-+an+-+a19＝0.即a1+a2+-+an＝-a19-a18---an+1. 又∵a1＝-a19.a2＝-a18.-.a19-n＝-an+1 ∴a1+a2+-+an＝-a19-a18---an+1＝a1+a2+-+a19-n. 若a9＝0.同理可得a1+a2+-+an＝a1+a2+a17-n. 相应地等比数列{bn}中.则可得:b1b2-bn＝b1b2-b17-n(n＜17.n∈N*). 点评:本题考查了等比数列的相关概念及其有关计算能力. 例10．(1)设首项为正数的等比数列.它的前n项和为80.前2n项和为6560.且前n项中数值最大的项为54.求此数列的首项和公比q. (2)在和之间插入n个正数.使这个数依次成等比数列.求所插入的n个数之积. (3)设等比数列{an}的各项均为正数.项数是偶数.它的所有项的和等于偶数项和的4倍.且第二项与第四项的积是第3项与第4项和的9倍.问数列{lgan}的前多少项和最大?(lg2=0 3,lg3=0.4) 解析:(1)设等比数列{an}的前n项和为Sn.依题意设:a1＞0.Sn=80 .S2n=6560. ∵S2n≠2Sn .∴q≠1, 从而 =80.且=6560. 两式相除得1+qn=82 .即qn=81. ∴a1=q-1＞0 即q＞1,从而等比数列{an}为递增数列.故前n项中数值最大的项为第n项. ∴a1qn-1=54,从而(q-1)qn-1=qn-qn-1=54. ∴qn-1=81-54=27 ∴q==3. ∴a1=q-1=2 故此数列的首为2.公比为3. (2)解法1:设插入的n个数为.且公比为q. 则 . 解法2:设插入的n个数为. . (3)解法一设公比为q,项数为2m,m∈N*. 依题意有:. 化简得. 设数列{lgan}前n项和为Sn. 则Sn=lga1+lga1q2+-+lga1qn-1=lga1n·q1+2+-+(n-1) =nlga1+n(n-1)·lgq=n-n(n-1)lg3 =(-)·n2+(2lg2+lg3)·n 可见.当n=时.Sn最大. 而=5,故{lgan}的前5项和最大. 解法二接前.,于是lgan=lg［108()n-1］=lg108+(n-1)lg. ∴数列{lgan}是以lg108为首项.以lg为公差的等差数列. 令lgan≥0.得2lg2-(n-4)lg3≥0. ∴n≤=5.5. 由于n∈N*,可见数列{lgan}的前5项和最大. 点评:第一种解法利用等比数列的基本量.先求公比.后求其它量.这是解等差数列.等比数列的常用方法.其优点是思路简单.实用.缺点是有时计算较繁,第二种解法利用等比数列的性质.与“首末项等距的两项积相等.这在解题中常用到. 题型6:等差.等比综合问题例11．已知公比为的无穷等比数列各项的和为9.无穷等比数列各项的和为. (Ⅰ)求数列的首项和公比, (Ⅱ)对给定的.设是首项为.公差为的等差数列．求数列的前10项之和. 解析:(Ⅰ)依题意可知:. 知,.所以数列的的首项为,公差.,即数列的前10项之和为155. 点评:对于出现等差.等比数列的综合问题.一定要区分开各自的公式.不要混淆. 【查看更多】

题目列表(包括答案和解析)

（2010•武汉模拟）“数列{a_n}为等比数列”是“数列{a_n+a_n+1}为等比数列”的（　　）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

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给出下列四个命题：
（1）等比数列的前n项和可能为零；
（2）对k∈R，直线y-kx-1=0与椭圆

=1恒有公共点，实数m的取值范围是m≥1
（3）向量

=(x2，x+1)，

=(1-x，t)，若函数f（x）=

在区间上是增函数，则实数t的取值范围是（5，+∞）；
（4）我们定义非空集合A的真子集的真子集为A的“孙集”，则集合{2，4，6，8，10}的“孙集”有26个．
其中正确的命题有

（填番号）

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给出下列命题：
（1）“数列{a_n}为等比数列”是“数列{a_na_n+1}为等比数列”的充分不必要条件；
（2）“a=2”是“函数f（x）=|x-a|在区间[2，+∞）为增函数”的充要条件；
（3）“m=3”是“直线（m+3）x+my-2=0与直线mx-6y+5=0相互垂直”的充要条件；
（4）设a，b，c分别是△ABC三个内角A，B，C所对的边，若a=1．b=

，则“A=30°”是“B=60°”的必要不充分条件．
其中真命题的序号是

（1）（4）

（写出所有真命题的序号）

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给出以下命题
（1）x∈(0，

)时，函数y=sinx+

sinx

的最小值为2

；
（2）若f（x）是奇函数，则f（x-1）的图象关于A（1，0）对称；
（3）“数列{a_n}为等比数列”是“数列{a_na_n+1}为等比数列的充分不必要条件；
（4）若函数f（x）=log₃（-x²+2mx-m²+36）在区间[-3，2）上是减函数，则m≤-3；
其中正确命题的序号是

（2）（3）

．

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已知等差数列{a_n}和等比数列{b_n}的首项分别为1，2，等差数列的公差为1，等比数列的公比为2：
（1）求{a_n}，{b_n}的通项；
（2）若c_n=a_nb_n求数列{c_n}的前n项和S_n．

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