题型1:数量积的概念 例1．判断下列各命题正确与否: (1), (2), (3)若.则, (4)若.则当且仅当时成立, (5)对任意向量都成立, (6)对任意向量.有. 解析:错,对. 点评:通过该题我们清楚了向量的数乘与数量积之间的区别于联系.重点清楚为零向量.而为零. 例2．若..为任意向量.m∈R.则下列等式不一定成立的是( ) A． B． C．m()=m+m D． (2)(2000江西.山西.天津理.4)设..是任意的非零平面向量,且相互不共线,则 ①(·)-(·)= ②||-||<|-| ③(·)-(·)不与垂直 ④(3+2)(3-2)=9||2-4||2中.是真命题的有( ) A.①② B.②③ C.③④ D.②④ 解析:(1)答案:D,因为.而,而方向与方向不一定同向. (2)答案:D①平面向量的数量积不满足结合律.故①假,②由向量的减法运算可知||.||.|-|恰为一个三角形的三条边长.由“两边之差小于第三边 .故②真,③因为［(·)-(·)］·=(·)·-(·)·=0.所以垂直.故③假,④(3+2)(3-2)=9··-4·=9||2-4||2成立.故④真. 点评:本题考查平面向量的数量积及运算律.向量的数量积运算不满足结合律. 题型2:向量的夹角 例3．已知向量.满足..且.则与的夹角为( ) A． B． C． D． 已知向量=(cos,sin),=(cos,sin),且.那么与的夹角的大小是 . (3)已知两单位向量与的夹角为.若.试求与的夹角. | |=1.| |=2.= + .且⊥.则向量与的夹角为 ( ) A．30° B．60° C．120° D．150° 解析:, (3)由题意..且与的夹角为. 所以.. . . 同理可得. 而. 设为与的夹角. 则. (4)C,设所求两向量的夹角为 即: 所以 点评:解决向量的夹角问题时要借助于公式.要掌握向量坐标形式的运算.向量的模的求法和向量间的乘法计算可见一斑.对于这个公式的变形应用应该做到熟练.另外向量垂直的充要条件必需掌握. 例4．设平面向量..的和.如果向量...满足.且顺时针旋转后与同向.其中.则( ) A．-++= B．-+= C．+-= D．++= 已知 且关于的方程有实根, 则与的夹角的取值范围是( ) A． B． C． D． 解析:B, 点评:对于平面向量的数量积要学会技巧性应用.解决好实际问题. 题型3:向量的模 例5．已知向量与的夹角为.则等于( ) A．5 B．4 C．3 D．1 设向量满足,,则( ) A．1 B．2 C．4 D．5 解析:D, 点评:掌握向量数量积的逆运算.以及. 例6．已知＝(3.4).＝(4.3).求x,y的值使(x+y)⊥.且|x+y|=1. 解析:由＝(3.4).＝(4.3).有x+y=(3x+4y,4x+3y), 又(x+y)⊥(x+y)·＝03(3x+4y)+4(4x+3y)=0, 即25x+24y＝0 ①, 又|x+y|=1|x+y|2＝1, (3x+4y)2+(4x+3y)2＝1, 整理得25x2+48xy+25y2＝1即x(25x+24y)+24xy+25y2＝1 ②, 由①②有24xy+25y2＝1 ③, 将①变形代入③可得:y=±, 再代回①得:. 点评:这里两个条件互相制约.注意体现方程组思想. 题型4:向量垂直.平行的判定 例7．已知向量..且.则 . 解析:∵.∴.∴.∴. 例8．已知...按下列条件求实数的值.(1),(2),. 解析: (1), (2), . 点评:此例展示了向量在坐标形式下的平行.垂直.模的基本运算. 题型5:平面向量在代数中的应用 例9．已知. 分析:.可以看作向量的模的平方.而则是.的数量积.从而运用数量积的性质证出该不等式. 证明:设 则. 点评:在向量这部分内容的学习过程中.我们接触了不少含不等式结构的式子.如等. 例10．已知.其中. (1)求证:与互相垂直, (2)若与()的长度相等.求. 解析:(1)因为 所以与互相垂直. (2). . 所以. . 因为. 所以. 有. 因为.故. 又因为. 所以. 点评:平面向量与三角函数在“角 之间存在着密切的联系.如果在平面向量与三角函数的交汇处设计考题.其形式多样.解法灵活.极富思维性和挑战性.若根据所给的三角式的结构及向量间的相互关系进行处理.可使解题过程得到简化.从而提高解题的速度. 题型6:平面向量在几何图形中的应用 例11．已知两点.且点P(x.y)使得.成公差小于零的等差数列. (1)求证, (2)若点P的坐标为.记与的夹角为.求. 解析:(1)略解:.由直接法得 (2)当P不在x轴上时. 而 所以.当P在x轴上时..上式仍成立. 图1 点评:由正弦面积公式得到了三角形面积与数量积之间的关系.由面积相等法建立等量关系. 例12．用向量法证明:直径所对的圆周角是直角. 已知:如图.AB是⊙O的直径.点P是⊙O上任一点.求证:∠APB＝90°. 证明:联结OP.设向量.则且. .即∠APB＝90°. 点评:平面向量是一个解决数学问题的很好工具.它具有良好的运算和清晰的几何意义.在数学的各个分支和相关学科中有着广泛的应用. 题型7:平面向量在物理中的应用 例13．如图所示.正六边形PABCDE的边长为b.有五个力.作用于同一点P.求五个力的合力. 解析:所求五个力的合力为.如图3所示.以PA.PE为边作平行四边形PAOE.则.由正六边形的性质可知.且O点在PC上.以PB.PD为边作平行四边形PBFD.则.由正六边形的性质可知.且F点在PC的延长线上. 由正六边形的性质还可求得 故由向量的加法可知所求五个力的合力的大小为.方向与的方向相同. 【
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