解得.代入曲线的方程为. 查看更多

 

题目列表(包括答案和解析)

已知函数 R).

(Ⅰ)若 ,求曲线  在点  处的的切线方程;

(Ⅱ)若  对任意  恒成立,求实数a的取值范围.

【解析】本试题主要考查了导数在研究函数中的运用。

第一问中,利用当时,

因为切点为(), 则,                 

所以在点()处的曲线的切线方程为:

第二问中,由题意得,即可。

Ⅰ)当时,

,                                  

因为切点为(), 则,                  

所以在点()处的曲线的切线方程为:.    ……5分

(Ⅱ)解法一:由题意得,.      ……9分

(注:凡代入特殊值缩小范围的均给4分)

,           

因为,所以恒成立,

上单调递增,                            ……12分

要使恒成立,则,解得.……15分

解法二:                 ……7分

      (1)当时,上恒成立,

上单调递增,

.                  ……10分

(2)当时,令,对称轴

上单调递增,又    

① 当,即时,上恒成立,

所以单调递增,

,不合题意,舍去  

②当时,, 不合题意,舍去 14分

综上所述: 

 

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已知点为圆上的动点,且不在轴上,轴,垂足为,线段中点的轨迹为曲线,过定点任作一条与轴不垂直的直线,它与曲线交于两点。

(I)求曲线的方程;

(II)试证明:在轴上存在定点,使得总能被轴平分

【解析】第一问中设为曲线上的任意一点,则点在圆上,

,曲线的方程为

第二问中,设点的坐标为,直线的方程为,  ………………3分   

代入曲线的方程,可得 

,∴

确定结论直线与曲线总有两个公共点.

然后设点,的坐标分别, ,则,  

要使轴平分,只要得到。

(1)设为曲线上的任意一点,则点在圆上,

,曲线的方程为.  ………………2分       

(2)设点的坐标为,直线的方程为,  ………………3分   

代入曲线的方程,可得 ,……5分            

,∴

∴直线与曲线总有两个公共点.(也可根据点M在椭圆的内部得到此结论)

………………6分

设点,的坐标分别, ,则,   

要使轴平分,只要,            ………………9分

,        ………………10分

也就是

,即只要  ………………12分  

时,(*)对任意的s都成立,从而总能被轴平分.

所以在x轴上存在定点,使得总能被轴平分

 

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已知函数的图象过坐标原点O,且在点处的切线的斜率是.

(Ⅰ)求实数的值; 

(Ⅱ)求在区间上的最大值;

(Ⅲ)对任意给定的正实数,曲线上是否存在两点P、Q,使得是以O为直角顶点的直角三角形,且此三角形斜边中点在轴上?说明理由.

【解析】第一问当时,,则

依题意得:,即    解得

第二问当时,,令,结合导数和函数之间的关系得到单调性的判定,得到极值和最值

第三问假设曲线上存在两点P、Q满足题设要求,则点P、Q只能在轴两侧。

不妨设,则,显然

是以O为直角顶点的直角三角形,∴

    (*)若方程(*)有解,存在满足题设要求的两点P、Q;

若方程(*)无解,不存在满足题设要求的两点P、Q.

(Ⅰ)当时,,则

依题意得:,即    解得

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,

①当时,,令

变化时,的变化情况如下表:

0

0

+

0

单调递减

极小值

单调递增

极大值

单调递减

。∴上的最大值为2.

②当时, .当时, ,最大值为0;

时, 上单调递增。∴最大值为

综上,当时,即时,在区间上的最大值为2;

时,即时,在区间上的最大值为

(Ⅲ)假设曲线上存在两点P、Q满足题设要求,则点P、Q只能在轴两侧。

不妨设,则,显然

是以O为直角顶点的直角三角形,∴

    (*)若方程(*)有解,存在满足题设要求的两点P、Q;

若方程(*)无解,不存在满足题设要求的两点P、Q.

,则代入(*)式得:

,而此方程无解,因此。此时

代入(*)式得:    即   (**)

 ,则

上单调递增,  ∵     ∴,∴的取值范围是

∴对于,方程(**)总有解,即方程(*)总有解。

因此,对任意给定的正实数,曲线上存在两点P、Q,使得是以O为直角顶点的直角三角形,且此三角形斜边中点在轴上

 

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