[例1]已知函数f(x)=.求f(x)的定义域.判断它的奇偶性.并求其值域. 解:由cos2x≠0得2x≠kπ+.解得x≠+(k∈Z). 所以f(x)的定义域为{x|x∈R且x≠+.k∈Z}. 因为f(x)的定义域关于原点对称.且 f(-x)= ==f(x). 所以f(x)是偶函数. 又当x≠+(k∈Z)时. f(x)= ==3cos2x-1=. 所以f(x)的值域为{y|-1≤y＜或＜y≤2}. ◆提炼方法:对复杂的函数式,要先化简为Asin+m,或Acos+m的形式,再讨论性质. [例2] 锐角x.y满足sinycscx=cos(x+y)且x+y≠.求tany的最大值.和取最大值时角x的集合. 解:∵sinycscx=cos(x+y). ∴sinycscx=cosxcosy-sinxsiny. siny(sinx+cscx)=cosxcosy. ∴tany====≤=. 当且仅当tanx=时取等号. ∴tany的最大值为.对应角x的集合为 ◆ 提炼方法:先由已知变换出tany与x的函数关系.再用不等式求最值;是三角.函数.不等式知识的综合应用. [例3]已知函数..求: (I)函数的最大值及取得最大值的自变量的集合, (II)函数的单调增区间. (I)解法一: ∴当.即时.取得最大值 因此.取得最大值的自变量的集合是 解法二: ∴当.即时.取得最大值 因此.取得最大值的自变量的集合是 (II)解: 由题意得. 即 因此.的单调增区间是 [例4]是否存在实数a.使得函数在闭区间上的最大值是1?若存在.求出对应的a值?若不存在.试说明理由. 解: 当时..令则. 综上知.存在符合题意. ◆思维点拨:化.闭区间上的二次函数的最值问题字母分类讨论思路. [研讨.欣赏]已知函数上的偶函数.其图象关于点对称.且在区间上是单调函数.求的值. 解:由是偶函数.得.即. 所以, 对任意x都成立.且.所以得. 依题设.所以解得. 由的图象关于点M对称.得. 取得所以 . -. -. 当k=0时.上是减函数, 当k=1时.上是减函数, 当时.上不是单调函数. 所以.综合得. 【
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