已知焦点在x轴上的双曲线C的两条渐近线过原点，且两条渐近线与以点A(0，

2

)为圆心，1为半径的圆相切，双曲线C的一个焦点与点A关于直线y=x对称．
（Ⅰ）求双曲线C的方程；
（Ⅱ）设直线y=mx+1与双曲线C的左支交于A，B两点，另一直线l经过M（-2，0）和线段AB的中点，求直线l在y轴上截距b的取值范围．

已知抛物线C₁的顶点在坐标原点，它的准线经过双曲线C₂：

x2

a2

-

y2

b2

=1的一个焦点F₁且垂直于C₂的两个焦点所在的轴，若抛物线C₁与双曲线C₂的一个交点是M(

2

3

，

2 6

3

)．
（1）求抛物线C₁的方程及其焦点F的坐标；
（2）求双曲线C₂的方程及其离心率e．

已知等轴双曲线C的两个焦点F₁、F₂在直线y=x上，线段F₁F₂的中点是坐标原点，且双曲线经过点（3，

3

2

）．
（1）若已知下列所给的三个方程中有一个是等轴双曲线C的方程：①x²-y²=

27

4

；②xy=9；③xy=

9

2

．请确定哪个是等轴双曲线C的方程，并求出此双曲线的实轴长；
（2）现要在等轴双曲线C上选一处P建一座码头，向A（3，3）、B（9，6）两地转运货物．经测算，从P到A、从P到B修建公路的费用都是每单位长度a万元，则码头应建在何处，才能使修建两条公路的总费用最低？
（3）如图，函数y=

3

3

x+

1

x

的图象也是双曲线，请尝试研究此双曲线的性质，你能得到哪些结论？（本小题将按所得到的双曲线性质的数量和质量酌情给分）

已知抛物线C₁的顶点在坐标原点，它的准线经过双曲线C₂：

x2

a2

-

y2

b2

=1的一个焦点F₁且垂直于C₂的两个焦点所在的轴，若抛物线C₁与双曲线C₂的一个交点是M(

3

2

，

6

)．
（1）求抛物线C₁的方程及其焦点F的坐标；
（2）求双曲线C₂的方程．