如图，在杨辉三角中，斜线上方的数组成数列：1，3，6，10，…，记这个数列的前n项和为S_n，则

lim

n→∞

n3

Sn

=

6

6

．

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如图，在杨辉三角中，斜线上方的数组成数列：1，3，6，10，…，记这个数列的前n项和为S_n，则=    ．

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如图，在杨辉三角中，斜线l的上方从1按箭头所示方向可以构成一个“锯齿形”的数列：1，3，3，4，6，5，10，…，则这个数列的第21项的值为（　　）

A、66

B、220

C、78

D、286

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如图，在杨辉三角中，斜线l的上方从1按箭头方向可以构成一个“锯齿形”的数列{a_n}：1，3，3，4，6，5，10，…，记其前n项和为S_n，则S₂₁的值为

361

361

．

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一、填空题（本大题满分60分，共12小题，每小题满分5分）

1．    2．第四象限    3． 。   4．  0

5．     6． 必要不充分     7． 2      8．     9． 1

10． 6    11．①⑤    12． 2 

二、选择题（本大题满分16分，共4小题，每小题满分4分）

13．B   14．D   15．C   16．D

三、解答题（本大题满分74，共5小题）

17．解：（1）取BC的中点F，连接EF、AF，则EF//PB，

    所以∠AEF就是异面直线AE和PB所成角或其补角；

                                   ……………3分

    ∵∠BAC=60°，PA=AB=AC=2，PA⊥平面ABC，

所以异面直线AE和PB所成角的大小为   ………………8分

   （2）因为E是PC中点，所以E到平面ABC的距离为  …………10分

       …………12分

18．（本题满分14分）

    解：由行列式得：  …………3分

    由正、余弦定理得：  …………6分

        ………………9分

    又    ………………12分

      ……………………14分

19．（本题满分14分）

    解：设二次函数

    ，

    二次函数

    又∵m、n为正整数，  …………14分

20．（本题满分16分，第1小题满分6分，第2小题满分10分）

    解：（1）；  ………………2分

    ；   ………………4分

       ………………6分

   （2）当由的小等边三角形，

    共有个。

     …………10分

      …………12分

   （3）都是等比数列，且是单调递增的数列；

    极限不存在；极限存在，   ………………14分

    雪花曲线的特性是周长无限增大而面积有限的图形。  ………………16分

   （第3小题酌情给分）

21．（本题20分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题6分，第4小题4分）

    解：（1）； ………………2分

    联立方程； …………3分

    与椭圆M相交。 …………4分

   （2）联立方程组

    消去

   （3）设F₁、F₂是椭圆的两个焦点，点F₁、F₂到直线

    的距离分别为d₁、d₂，且F₁、F₂在直线L的同侧。那么直线L与椭圆相交的充要条件为：；直线L与椭圆M相切的充要条件为：；直线L与椭圆M相离的充要条件为：　……14分

    证明：由（2）得，直线L与椭圆M相交

    命题得证。

   （写出其他的充要条件仅得2分，未指出“F₁、F₂在直线L的同侧”得3分）

   （4）可以类比到双曲线：设F₁、F₂是双曲线的两个焦点，点F₁、F₂到直线距离分别为d₁、d₂，且F₁、F₂在直线L的同侧。那么直线L与双曲线相交的充要条件为：；直线L与双曲线M相切的充要条件为：；直线L与双曲线M相离的充要条件为：

………………20分

   （写出其他的充要条件仅得2分，未指出“F₁、F₂在直线L的同侧”得3分）

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