图中竖直线段和斜线段都表示通道，并且在交点处相遇，若竖直线段有一条的为第一层，有两条的为第二层，以此类推，竖直线段有n条的为第n层，每一层的竖直通道从左到右分别称为第1通道、第2通道，…，现在有一个小球从入口向下（只能向下，不能向上）运动，小球在每个交点处向左到达下一层或者向右到达下一层的可能性是相同的．小球到达第n层第m通道的不同路径数称为a_n，m，如小球到达第二层第1通道和第二层第2通道的路径都只有一种情况，因此，a_2，1=1，a_2，2=1．
求：（1）a_3，1，a_3，2，a_3，3；
（2）a_5，2，以及小球到达第5层第2通道的概率；
（3）猜想a_n，2（n≥2），并证明；
（4）猜想a_n，3（n≥3）（不用证明）．

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已知复数z₁=m+ni（m，n∈R），z=x+yi（x，y∈R），z₂=2+4i且．
（1）若复数z₁对应的点M（m，n）在曲线上运动，求复数z所对应的点P（x，y）的轨迹方程；
（2）将（1）中的轨迹上每一点按向量方向平移个单位，得到新的轨迹C，求C的轨迹方程；
（3）过轨迹C上任意一点A（异于顶点）作其切线，交y轴于点B，求证：以线段AB为直径的圆恒过一定点，并求出此定点的坐标．

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如图，

ADB

为半圆，AB为半圆直径，O为半圆圆心，且OD⊥AB，Q为线段OD的中点，已知|AB|=4，曲线C过Q点，动点P在曲线C上运动且保持|PA|+|PB|的值不变．
（Ⅰ）建立适当的平面直角坐标系，求曲线C的方程；
（Ⅱ）过点B的直线l与曲线C交于M、N两点，与OD所在直线交于E点，若

EM

=λ1

MB

，

EN

=λ2

NB

，求证：λ1+λ2为定值．

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如图，

ADB

为半圆，AB为半圆直径，O为半圆圆心，且OD⊥AB，Q为线段OD的中点，已知|AB|=4，曲线C过Q点，动点P在曲线C上运动且保持|PA|+|PB|的值不变．
（Ⅰ）建立适当的平面直角坐标系，求曲线C的方程；
（Ⅱ）过点B的直线l与曲线C交于M、N两点，与OD所在直线交于E点，若

EM

=λ1

MB

，

EN

=λ2

NB

，求证：λ1+λ2为定值．

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说明：

       一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则.

       二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.

       三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.

       四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分.

一、选择题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分60分.

1. A   2. D   3. C   4. C   5. B   6. D   7. B   8. A   9. C   10. D   11. B   12. C

二、填空题：本题考查基础知识和基本运算，每小题4分，满分16分.

13.         14.                 15.                 16.   

三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17. 本题主要考查三角函数的基本公式，考查运算能力. 满分12分.

解：（Ⅰ）在中，因为，

所以.   ……………………………（3分）

所以

.  …………………………（6分）

（Ⅱ）根据正弦定理得：，

所以. ……………………………（9分）

所以

. ………………………………………………………（12分）

18．本题主要考查直线与平面的位置关系，考查空间想像能力，推理论证能力和运算求解能

力. 满分12分.

解：（Ⅰ）因为平面ABCD⊥平面ABE，且ABCD是正方形，所以BC⊥平面ABE，

因为G是等边三角形ABE的边AE的中点，所以BG⊥AE，……………（2分）

所以

　　　　　．…………………………………………（4分）

（Ⅱ）取DE中点M，连结MG、FM，

因为MG  AD，BF  AD，所以MG　BF，

四边形FBGM是平行四边形，所以BG//FM.（6分）

又因为FM平面EFD，BG平面EFD，

所以BG//平面EFD.         ………………（8分）

（Ⅲ）因为DA⊥平面ABE，BG平面ABE，所以DA⊥BG. …………………（9分）

　　　又BG⊥AE，ADAE＝A，

　　　所以BG⊥平面DAE，又AP平面DAE，………………………………（11分）

　　　所以BG⊥AP.    ……………………………………………………………（12分）

19. 本题主要考查等差数列、等比数列的基本知识，考查运算求解能力及推理能力. 满分12分.

解：（Ⅰ）设该等差数列的公差为，依题意得：  ………（2分）

解得：  ………………………………………………………（4分）

所以数列的通项公式为.   ………………………………（6分）

（Ⅱ）依题意得：………………（9分）

.  ………（12分）

20. 本题主要考查概率、统计的基本知识，考查应用意识. 满分12分.

解：（Ⅰ）设每个报名者能被聘用的概率为P，依题意有：

.

答：每个报名者能被聘用的概率为0.02.  ………………………………………（4分）

（Ⅱ）设24名笔试者中有x名可以进入面试，依样本估计总体可得：

　　  ，解得：，从表中可知面试的切线分数大约为80分.

答：可以预测面试的切线分数大约为80分.  ……………………………………（8分）

（Ⅲ）从聘用的四男、二女中选派两人的基本事件有：（a,b）,( a,c) , (a, d) ,( a, e) ,

(a, f) ,( b, c) ,（b,d）,( b, e) ,( b, f) ,(c, d) ,（c, e）,( c, f) ,( d, e) ,( d, f) ,（e, f）,共15种.

选派一男一女参加某项培训的种数有:

     (a,e) ,( a, f) , (b,e) ,(b, f),（c,e）,(c, f) ,(d,e) ,(d, f)，共8种

所以选派结果为一男一女的概率为.

答：选派结果为一男一女的概率为.       …………………………………（12分）

21．本题主要考查圆、直线与椭圆的位置关系等基本知识，考查运算求解能力和分析问题、

解决问题的能力. 满分12分

解：（Ⅰ）由已知得，,所以

又，所以，椭圆C的方程为   ………（3分）

因为，所以，可求得或，…（5分）

所以的外接圆D的方程是或．

………………………………………………………………（7分）(少一解扣1分)

（Ⅱ）当直线的斜率不存在时，由（Ⅰ）得，，

可得，所以．…………………………………（8分）

当直线的斜率存在时，设其斜率为，显然，

则直线的方程为，设点，

将代入方程，并化简得：

    ……………………………………（9分）

可得：，，     ……………………（10分）

所以

综上，．  ………………………（12分）

22．本题主要考查函数的单调性、极值、最值、不等式、方程的解等基本知识，考查运用导

数研究函数性质的方法，考查分类与整合及化归与转化等数学思想. 满分14分.

解：（Ⅰ）依题意，知的定义域为.    …………………………………（1分）

当时，，

.    ………………………………（2分）

令，解得.

当时，，此时单调递增；

当时，，此时单调递减. ……………………………（3分）

所以的极大值为，此即为最大值 . ……………………（4分）

（Ⅱ），

所以，在上恒成立，………………（6分）

所以 ，…………………………………（7分）

当时，取得最大值．所以． ………………（9分）

（Ⅲ）因为方程有唯一实数解，所以有唯一实数解．设，则.

令，得．

因为，

所以（舍去），， ………（10分）

当时，，在单调递减，

当时，，在单调递增．

当时，，取最小值.  ……………………（11分）

因为有唯一解，所以．

则，即

所以，

因为，所以． …………………………（12分）

设函数，

因为当时，是增函数，所以至多有一解．  ………（13分）

因为，所以方程的解为，即，

解得                ……………………………………………（14分）