题目列表(包括答案和解析)
本题有⑴、⑵、⑶三个选考题，每题7分，请考生任选两题作答，满分14分，如果多做，则按所做的前两题计分．
（1）（本小题满分7分）选修4—2：矩阵与变换
已知二阶矩阵M有特征值
及对应的一个特征向量
，并且矩阵M对应的变换将点
变换成
，求矩阵M。
（2）（本小题满分7分）选修4—4：坐标系与参数方程
过点M（3，4），倾斜角为
的直线
与圆C：
（
为参数）相交于A、B两点，试确定
的值。
（3）（本小题满分7分）选修4—5：不等式选讲
已知实数
满足
，
，试确定
的最大值。
本题有⑴、⑵、⑶三个选考题，每题7分，请考生任选两题作答，满分14分，如果多做，则按所做的前两题计分．
（1）（本小题满分7分）选修4—2：矩阵与变换
已知二阶矩阵M有特征值
及对应的一个特征向量
，并且矩阵M对应的变换将点
变换成
，求矩阵M。
（2）（本小题满分7分）选修4—4：坐标系与参数方程
过点M（3，4），倾斜角为
的直线
与圆C：
（
为参数）相交于A、B两点，试确定
的值。
（3）（本小题满分7分）选修4—5：不等式选讲
已知实数
满足
，
，试确定
的最大值。
及对应的一个特征向量
，并且矩阵M对应的变换将点
变换成
，求矩阵M。
的直线
与圆C：
（
为参数）相交于A、B两点，试确定
的值。
满足
，
，试确定
的最大值。
|
|
| π |
| 4 |
| 2 |
|
| 18 |
| 17 |
|
|
|
|
|
说明：
一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则.
二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.
三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.
四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分.
一、选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分50分.
1. A 2. C 3. C 4.C 5.D 6.D 7. B 8. D 9. B 10. C
二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题4分，满分20分.
11. 12.38 12. 5 13. 3
14. 
15.
②③
三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
16. 本小题主要考查正弦定理、三角函数的倍角公式、两角和公式等基本知识，考
查学生的运算求解能力. 满分13分.
解：（Ⅰ）由
，知
………………………（2分）
又
，得
，
，
………（5分）
故
………（6分）
（Ⅱ） 由（Ⅰ）知
，
………………（9分）
，
当
，即
时，
取得最大值为
． ……（13分）
17. 本题主要考查线线、线面、面面位置关系，线面角等基本知识，考查空间想像能力，运算求解能力和推理论证能力. 满分13分.
解：（Ⅰ）证明：如图，取
中点
，连结
，
；
∥
，
∥
，
又
，
，
，…………（3分）
四边形
为平行四边形，
∥，
又
平面
，
平面，
∥平面．
………………………（6分）
（Ⅱ）依题意知平面
平面
，
，
平面，得
又
，.
如图，以
为原点，建立空间直角坐标系-xyz，
，可得
、
、
，
.
设平面的一个法向量为
，
由
得
解得
，
．
………………（9分）
设线段
上存在一点
，其中
，则
，
，
依题意：
，即
，
可得
，解得
（舍去）．
所以上存在一点
． …………（13分）
18．本题主要考查函数与导数等基本知识，考查运用数学知识分析问题与解决问题的能力，
考查应用意识. 满分13分.
解：（Ⅰ）依题意，销售价提高后为6000（1+
）元/台，月销售量为
台…（2分）
则
……………………（4分）
即
． ……………………（6分）
（Ⅱ）
令
，得
，
解得
舍去）．
……………………（9分）
当
当
当
时，
取得最大值．
此时销售价为
元．
答：笔记本电脑的销售价为9000元时，电脑企业的月利润最大．…………………（13分）
19．本题主要考查直线与椭圆的位置关系、不等式的解法等基本知识，考查运算求解能力和分析问题、解决问题的能力. 满分13分
解：（Ⅰ）因为椭圆
的一个焦点是（1，0），所以半焦距
=1.
因为椭圆两个焦点与短轴的一个端点构成等边三角形.
所以
，解得
所以椭圆的标准方程为
. …（4分）
（Ⅱ）（i）设直线
：
与联立并消去得：
.
记
，
，
，
. ……………（5分）
由A关于轴的对称点为
，得
，根据题设条件设定点为
（
，0），
得
，即
.所以
即定点（1 ， 0）.
……（8分）
（ii）由（i）中判别式
，解得
. 可知直线
过定点 (1,0).
所以
……………（10分）
得
, 令
记
，得
，当
时，
.
在
上为增函数. 所以
，
得
.故△OA1B的面积取值范围是
.
…（13分）
20. 本题主要考查函数的单调性、等差数列、不等式等基本知识，考查运用合理的推理证明解决问题的方法，考查分类与整合及化归与转化等数学思想. 满分14分.
解：（Ⅰ）因为
，
所以
.
………………（1分）
（i）当
时，
.
（ii）当
时，由
，得到
，知在
上.
（iii）当
时，由，得到，知在
上.
综上，当
时，
递增区间为；当时, 
递增区间为
.
…………（4分）
（Ⅱ）（i）因为
，所以
，即
，
，即
. ……………………………………（6分）
因为
，
当
时，
，
当
时，
，
所以
.
…………………………（8分）
又因为
，
所以令
，则
得到
与
矛盾，所以
不在数列
中. ………（9分）
（ii）充分性：若存在整数
，使
.
设
为数列
中不同的两项，则
.
又
且,所以
.
即
是数列的第
项.
……………………（10分）
必要性：若数列中任意不同两项之和仍为数列中的项，
则
，
，（
，为互不相同的正整数）
则
，令
，
得到
，
所以
，令整数
，所以. ……（11 分）
下证整数.若设整数
则
.令
，
由题设取
使
即
，所以
即
与
相矛盾，所以.
综上, 数列中任意不同两项之和仍为数列中的项的充要条件是存在整数，使.
……………………（14分）
21. （1）本题主要考查矩阵乘法、逆矩阵与变换等基本知识，考查运算求解能力， 满分7分.
解：
，即
，
所以
得
…………（4分）
即M=
，由
得
.
或
=1
, 
.
…………（7分）
（2）本题主要考查圆极坐标方程和直线参数方程等基本知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想. 满分7分.
解：曲线的极坐标方程
可化为
,
其直角坐标方程为
，即
. ………（2分）
直线的方程为
.
所以，圆心到直线的距离
………（5分）
所以，
的最小值为
.
…………（７分）
（3）本题主要考查柯西不等式与不等式解法等基本知识，考查化归与转化思想. 满分7分.
解：由柯西不等式：
. …………（3分）
因为
所以
，即
.
因为
的最大值是7,所以
，得
，
当
时，取最大值，
所以.
……………………（7分）
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