已知函数. 查看更多

 

题目列表(包括答案和解析)

已知函数f(x)=4sin(2x-
π
3
)+1
,给定条件p:
π
4
≤x≤
π
2
,条件q:-2<f(x)-m<2,若p是q的充分条件,则实数m的取值范围为
 

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已知函数f(x)是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数,且对任意实数x都有xf(x+1)=(1+x)f(x),则f(f(
52
))的值是
 

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已知函数g(x)=ax2-2ax+1+b(a≠0,b<1),在区间[2,3]上有最大值4,最小值1,设f(x)=
g(x)
x

(Ⅰ)求a,b的值;
(Ⅱ)不等式f(2x)-k•2x≥0在x∈[-1,1]上恒成立,求实数k的范围;
(Ⅲ)方程f(|2x-1|)+k(
2
|2x-1|
-3)=0
有三个不同的实数解,求实数k的范围.

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8、已知函数y=f(x)(x∈R)满足f(x+1)=f(x-1),且x∈[-1,1]时,f(x)=x2,则函数y=f(x)与y=log5x的图象的交点个数为(  )

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已知函数f(x)=
3-x,x>0
x2-1.x≤0
,则f[f(-2)]=
 

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题 号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答 案

11. ;   12. ;   13.;    14.;     15..

三、解答题(本大题共6小题,共75分)

16.(本小题满分12分)

已知向量).函数

的图象的一个对称中心与它相邻的一条对称轴之间的距离为,且过点.

(Ⅰ)求函数的表达式;

(Ⅱ)当时,求函数的单调区间。

【解】(Ⅰ)

…………3′

由题意得周期,故.…………4′

又图象过点,∴

,而,∴,∴………6′

(Ⅱ)当时,

∴当时,即时,是减函数

时,即时,是增函数

∴函数的单调减区间是,单调增区间是…………12′

 

17.(本小题满分12分)

在某社区举办的《2008奥运知识有奖问答比赛》中,甲、乙、丙三人同时回答一道有关奥运知识的问题,已知甲回答这道题的概率是,甲、丙两人都回答错的概率是,乙、丙两人都回答对的概率是.

(Ⅰ)求乙、丙两人各自回答这道题对的概率;

(Ⅱ)用表示回答该题对的人数,求的分布列和数学期望.

【解】(Ⅰ)记“甲回答对这道题”、“ 乙回答对这道题”、“丙回答对这道题”分别为事件,则,且有,即

.…………6′

(Ⅱ)由(Ⅰ).

的可能取值为:.

.…………9′

的分布列为

的数学期望.…………12′

 

18.(本小题满分12分)如图,已知正三棱柱各棱长都为为棱上的动点。

(Ⅰ)试确定的值,使得;(Ⅱ)若,求二面角的大小;

(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,求点到面的距离。

【法一】(Ⅰ)当时,作上的射影. 连结.

平面,∴,∴的中点,又,∴也是的中点,

.  反之当时,取的中点,连接.

为正三角形,∴.   由于的中点时,

平面,∴平面,∴.……4′

(Ⅱ)当时,作上的射影. 则底面.

上的射影,连结,则.

为二面角的平面角。

又∵,∴,∴.

,又∵,∴.

,∴的大小为.…8′

(Ⅲ)设到面的距离为,则,∵,∴平面,

即为点到平面的距离,

,∴.

,解得.即到面的距离为.……12′

【法二】以为原点,轴,过点与垂直的直线为轴,

轴,建立空间直角坐标系,如图所示,

,则.

(Ⅰ)由

,∴,即的中点,

也即时,.…………4′

(Ⅱ)当时,点的坐标是.  取.

.

是平面的一个法向量。

又平面的一个法向量为.

,∴二面角的大小是.……8′

(Ⅲ)设到面的距离为,则,∴到面的距离为.…12′

19.(本小题满分12分)

已知函数.

(Ⅰ)求函数的单调区间和极值;

(Ⅱ)若对满足的任意实数恒成立,求实数的取值范围(这里是自然对数的底数);

(Ⅲ)求证:对任意正数,恒有

.

【解】(Ⅰ)

的增区间为减区间为.

极大值为,极小值为.…………4′

(Ⅱ)原不等式可化为由(Ⅰ)知,时,的最大值为.

的最大值为,由恒成立的意义知道,从而…8′

(Ⅲ)设

.

∴当时,,故上是减函数,

又当是正实数时,

.

的单调性有:

.…………12′

 

20.(本小题满分13分)

如图,已知曲线与抛物线的交点分别为,曲线和抛物线在点处的切线分别为,且的斜率分别为.

(Ⅰ)当为定值时,求证为定值(与无关),并求出这个定值;

(Ⅱ)若直线轴的交点为,当取得最小值时,求曲线的方程。

【解】(Ⅰ)设点的坐标为

得:

,∴…………2′

,∴ …………4′

又∵,∴.


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