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题 号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答 案

11. ；   12. ；   13．或或；    14.；     15．.

三、解答题（本大题共6小题，共75分）

16．（本小题满分12分）

已知向量，（，）.函数，

的图象的一个对称中心与它相邻的一条对称轴之间的距离为，且过点.

（Ⅰ）求函数的表达式；

（Ⅱ）当时，求函数的单调区间。

【解】（Ⅰ）

…………3′

由题意得周期，故.…………4′

又图象过点，∴

即，而，∴，∴………6′

（Ⅱ）当时，

∴当时，即时，是减函数

当时，即时，是增函数

∴函数的单调减区间是，单调增区间是…………12′

17．（本小题满分12分）

在某社区举办的《2008奥运知识有奖问答比赛》中，甲、乙、丙三人同时回答一道有关奥运知识的问题，已知甲回答这道题对的概率是，甲、丙两人都回答错的概率是，乙、丙两人都回答对的概率是.

（Ⅰ）求乙、丙两人各自回答这道题对的概率；

（Ⅱ）用表示回答该题对的人数，求的分布列和数学期望.

【解】（Ⅰ）记“甲回答对这道题”、“ 乙回答对这道题”、“丙回答对这道题”分别为事件、、，则，且有，即

∴，.…………6′

（Ⅱ）由（Ⅰ），.

的可能取值为：、、、.

则；

；

；

.…………9′

∴的分布列为

的数学期望.…………12′

18．（本小题满分12分）如图，已知正三棱柱各棱长都为，为棱上的动点。

（Ⅰ）试确定的值，使得；（Ⅱ）若，求二面角的大小；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求点到面的距离。

【法一】（Ⅰ）当时，作在上的射影. 连结.

则平面，∴，∴是的中点，又，∴也是的中点，

即.  反之当时，取的中点，连接、.

∵为正三角形，∴.   由于为的中点时，

∵平面，∴平面，∴.……4′

（Ⅱ）当时，作在上的射影. 则底面.

作在上的射影，连结，则.

∴为二面角的平面角。

又∵，∴，∴.

∴，又∵，∴.

∴，∴的大小为.…8′

（Ⅲ）设到面的距离为，则，∵，∴平面,

∴即为点到平面的距离，

又，∴.

即，解得.即到面的距离为.……12′

【法二】以为原点，为轴，过点与垂直的直线为轴，

为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，

设，则、、.

（Ⅰ）由得，

即，∴，即为的中点，

也即时，.…………4′

（Ⅱ）当时，点的坐标是.  取.

则，.

∴是平面的一个法向量。

又平面的一个法向量为.

∴，∴二面角的大小是.……8′

（Ⅲ）设到面的距离为，则，∴到面的距离为.…12′

19．（本小题满分12分）

已知函数.

（Ⅰ）求函数的单调区间和极值；

（Ⅱ）若对满足的任意实数恒成立，求实数的取值范围（这里是自然对数的底数）；

（Ⅲ）求证：对任意正数、、、，恒有

.

【解】（Ⅰ）

∴的增区间为，减区间为和.

极大值为，极小值为.…………4′

（Ⅱ）原不等式可化为由（Ⅰ）知，时，的最大值为.

∴的最大值为，由恒成立的意义知道，从而…8′

（Ⅲ）设

则.

∴当时，，故在上是减函数，

又当、、、是正实数时，

∴.

由的单调性有：，

即.…………12′

20．（本小题满分13分）

如图，已知曲线与抛物线的交点分别为、，曲线和抛物线在点处的切线分别为、，且、的斜率分别为、.

（Ⅰ）当为定值时，求证为定值（与无关），并求出这个定值；

（Ⅱ）若直线与轴的交点为，当取得最小值时，求曲线和的方程。

【解】（Ⅰ）设点的坐标为，

由得：

则，∴…………2′

由得，∴ …………4′

∴

又∵，，∴.

∴