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    如图.已知曲线与抛物线的交点分别为..曲线和抛物线在点处的切线分别为..且.的斜率分别为.. 【查看更多】

     

    题目列表(包括答案和解析)

    如图，已知曲线与抛物线c2：x2=2py（p＞0）的交点分别为A、B，曲线c1和抛物线c2在点A处的切线分别为l1、l2，且l1、l2的斜率分别为k1、k2．
    （Ⅰ）当为定值时，求证k1•k2为定值（与p无关），并求出这个定值；
    （Ⅱ）若直线l2与y轴的交点为D（0，-2），当a2+b2取得最小值9时，求曲线c1和c2的方程．

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    如图，已知曲线与抛物线c2：x2=2py（p＞0）的交点分别为A、B，曲线c1和抛物线c2在点A处的切线分别为l1、l2，且l1、l2的斜率分别为k1、k2．
    （Ⅰ）当为定值时，求证k1•k2为定值（与p无关），并求出这个定值；
    （Ⅱ）若直线l2与y轴的交点为D（0，-2），当a2+b2取得最小值9时，求曲线c1和c2的方程．

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    （09年湖北八校联考理）（13分）

    如图，已知曲线与抛物线的交点分别为、，曲线和抛物线在点处的切线分别为、，且、的斜率分别为、.

    （Ⅰ）当为定值时，求证为定值（与无关），并求出这个定值；

    （Ⅱ）若直线与轴的交点为，当取得最小值时，求曲线和的方程。

     

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    （2009•黄冈模拟）如图，已知曲线c1：
    x2
    a2
    +
    y2
    b 2
    =1(b＞a＞0，y≥0)    与抛物线c2：x2=2py（p＞0）的交点分别为A、B，曲线c1和抛物线c2在点A处的切线分别为l1、l2，且l1、l2的斜率分别为k1、k2．
    （Ⅰ）当
    b
    a
    为定值时，求证k1•k2为定值（与p无关），并求出这个定值；
    （Ⅱ）若直线l2与y轴的交点为D（0，-2），当a2+b2取得最小值9时，求曲线c1和c2的方程．

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    （本小题满分14分）

       如图所示，已知曲线交于点O、A，直线

    与曲线、分别交于点D、B，连结OD，DA，AB.

    （1）求证:曲边四边形ABOD（阴影部分：OB

    为抛物线弧）的面积的函数表达

    式为

    （2）求函数在区间上的最大值.

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    题 号

    1

    2

    3

    4

    5

    6

    7

    8

    9

    10

    答 案

    11. ；   12. ；   13．或或；    14.；     15．.

    三、解答题（本大题共6小题，共75分）

    16．（本小题满分12分）

    已知向量，（，）.函数，

    的图象的一个对称中心与它相邻的一条对称轴之间的距离为，且过点.

    （Ⅰ）求函数的表达式；

    （Ⅱ）当时，求函数的单调区间。

    【解】（Ⅰ）

    …………3′

    由题意得周期，故.…………4′

    又图象过点，∴

    即，而，∴，∴………6′

    （Ⅱ）当时，

    ∴当时，即时，是减函数

    当时，即时，是增函数

    ∴函数的单调减区间是，单调增区间是…………12′

     

    17．（本小题满分12分）

    在某社区举办的《2008奥运知识有奖问答比赛》中，甲、乙、丙三人同时回答一道有关奥运知识的问题，已知甲回答这道题对的概率是，甲、丙两人都回答错的概率是，乙、丙两人都回答对的概率是.

    （Ⅰ）求乙、丙两人各自回答这道题对的概率；

    （Ⅱ）用表示回答该题对的人数，求的分布列和数学期望.

    【解】（Ⅰ）记“甲回答对这道题”、“ 乙回答对这道题”、“丙回答对这道题”分别为事件、、，则，且有，即

    ∴，.…………6′

    （Ⅱ）由（Ⅰ），.

    的可能取值为：、、、.

    则；

    ；

    ；

    .…………9′

    ∴的分布列为

    的数学期望.…………12′

     

    18．（本小题满分12分）如图，已知正三棱柱各棱长都为，为棱上的动点。

    （Ⅰ）试确定的值，使得；（Ⅱ）若，求二面角的大小；

    （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求点到面的距离。

    【法一】（Ⅰ）当时，作在上的射影. 连结.

    则平面，∴，∴是的中点，又，∴也是的中点，

    即.  反之当时，取的中点，连接、.

    ∵为正三角形，∴.   由于为的中点时，

    ∵平面，∴平面，∴.……4′

    （Ⅱ）当时，作在上的射影. 则底面.

    作在上的射影，连结，则.

    ∴为二面角的平面角。

    又∵，∴，∴.

    ∴，又∵，∴.

    ∴，∴的大小为.…8′

    （Ⅲ）设到面的距离为，则，∵，∴平面,

    ∴即为点到平面的距离，

    又，∴.

    即，解得.即到面的距离为.……12′

    【法二】以为原点，为轴，过点与垂直的直线为轴，

    为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，

    设，则、、.

    （Ⅰ）由得，

    即，∴，即为的中点，

    也即时，.…………4′

    （Ⅱ）当时，点的坐标是.  取.

    则，.

    ∴是平面的一个法向量。

    又平面的一个法向量为.

    ∴，∴二面角的大小是.……8′

    （Ⅲ）设到面的距离为，则，∴到面的距离为.…12′

    19．（本小题满分12分）

    已知函数.

    （Ⅰ）求函数的单调区间和极值；

    （Ⅱ）若对满足的任意实数恒成立，求实数的取值范围（这里是自然对数的底数）；

    （Ⅲ）求证：对任意正数、、、，恒有

    .

    【解】（Ⅰ）

    ∴的增区间为，减区间为和.

    极大值为，极小值为.…………4′

    （Ⅱ）原不等式可化为由（Ⅰ）知，时，的最大值为.

    ∴的最大值为，由恒成立的意义知道，从而…8′

    （Ⅲ）设

    则.

    ∴当时，，故在上是减函数，

    又当、、、是正实数时，

    ∴.

    由的单调性有：，

    即.…………12′

     

    20．（本小题满分13分）

    如图，已知曲线与抛物线的交点分别为、，曲线和抛物线在点处的切线分别为、，且、的斜率分别为、.

    （Ⅰ）当为定值时，求证为定值（与无关），并求出这个定值；

    （Ⅱ）若直线与轴的交点为，当取得最小值时，求曲线和的方程。

    【解】（Ⅰ）设点的坐标为，

    由得：

    则，∴…………2′

    由得，∴ …………4′

    ∴

    又∵，，∴.

    ∴

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