题目列表(包括答案和解析)
(本小题满分14分)
已知函数。
(1)证明:
(2)若数列的通项公式为,求数列 的前项和;w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
(3)设数列满足:,设,
若(2)中的满足对任意不小于2的正整数,恒成立,
试求的最大值。
(本小题满分14分)已知,点在轴上,点在轴的正半轴,点在直线上,且满足,. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
(Ⅰ)当点在轴上移动时,求动点的轨迹方程;
(Ⅱ)过的直线与轨迹交于、两点,又过、作轨迹的切线、,当,求直线的方程.(本小题满分14分)设函数
(1)求函数的单调区间;
(2)若当时,不等式恒成立,求实数的取值范围;w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
(3)若关于的方程在区间上恰好有两个相异的实根,求实数的取值范围。(本小题满分14分)
已知,其中是自然常数,
(1)讨论时, 的单调性、极值;w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
(2)求证:在(1)的条件下,;
(3)是否存在实数,使的最小值是3,若存在,求出的值;若不存在,说明理由.
(本小题满分14分)
设数列的前项和为,对任意的正整数,都有成立,记。
(I)求数列的通项公式;
(II)记,设数列的前项和为,求证:对任意正整数都有;
(III)设数列的前项和为。已知正实数满足:对任意正整数恒成立,求的最小值。
题 号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答 案
11. ; 12. ; 13.或或; 14.; 15..
三、解答题(本大题共6小题,共75分)
16.(本小题满分12分)
已知向量,(,).函数,
的图象的一个对称中心与它相邻的一条对称轴之间的距离为,且过点.
(Ⅰ)求函数的表达式;
(Ⅱ)当时,求函数的单调区间。
【解】(Ⅰ)
…………3′
由题意得周期,故.…………4′
又图象过点,∴
即,而,∴,∴………6′
(Ⅱ)当时,
∴当时,即时,是减函数
当时,即时,是增函数
∴函数的单调减区间是,单调增区间是…………12′
17.(本小题满分12分)
在某社区举办的《2008奥运知识有奖问答比赛》中,甲、乙、丙三人同时回答一道有关奥运知识的问题,已知甲回答这道题对的概率是,甲、丙两人都回答错的概率是,乙、丙两人都回答对的概率是.
(Ⅰ)求乙、丙两人各自回答这道题对的概率;
(Ⅱ)用表示回答该题对的人数,求的分布列和数学期望.
【解】(Ⅰ)记“甲回答对这道题”、“ 乙回答对这道题”、“丙回答对这道题”分别为事件、、,则,且有,即
∴,.…………6′
(Ⅱ)由(Ⅰ),.
的可能取值为:、、、.
则;
;
;
.…………9′
∴的分布列为
的数学期望.…………12′
18.(本小题满分12分)如图,已知正三棱柱各棱长都为,为棱上的动点。
(Ⅰ)试确定的值,使得;(Ⅱ)若,求二面角的大小;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,求点到面的距离。
【法一】(Ⅰ)当时,作在上的射影. 连结.
则平面,∴,∴是的中点,又,∴也是的中点,
即. 反之当时,取的中点,连接、.
∵为正三角形,∴. 由于为的中点时,
∵平面,∴平面,∴.……4′
(Ⅱ)当时,作在上的射影. 则底面.
作在上的射影,连结,则.
∴为二面角的平面角。
又∵,∴,∴.
∴,又∵,∴.
∴,∴的大小为.…8′
(Ⅲ)设到面的距离为,则,∵,∴平面,
∴即为点到平面的距离,
又,∴.
即,解得.即到面的距离为.……12′
【法二】以为原点,为轴,过点与垂直的直线为轴,
为轴,建立空间直角坐标系,如图所示,
设,则、、.
(Ⅰ)由得,
即,∴,即为的中点,
也即时,.…………4′
(Ⅱ)当时,点的坐标是. 取.
则,.
∴是平面的一个法向量。
又平面的一个法向量为.
∴,∴二面角的大小是.……8′
(Ⅲ)设到面的距离为,则,∴到面的距离为.…12′
19.(本小题满分12分)
已知函数.
(Ⅰ)求函数的单调区间和极值;
(Ⅱ)若对满足的任意实数恒成立,求实数的取值范围(这里是自然对数的底数);
(Ⅲ)求证:对任意正数、、、,恒有
.
【解】(Ⅰ)
∴的增区间为,减区间为和.
极大值为,极小值为.…………4′
(Ⅱ)原不等式可化为由(Ⅰ)知,时,的最大值为.
∴的最大值为,由恒成立的意义知道,从而…8′
(Ⅲ)设
则.
∴当时,,故在上是减函数,
又当、、、是正实数时,
∴.
由的单调性有:,
即.…………12′
20.(本小题满分13分)
如图,已知曲线与抛物线的交点分别为、,曲线和抛物线在点处的切线分别为、,且、的斜率分别为、.
(Ⅰ)当为定值时,求证为定值(与无关),并求出这个定值;
(Ⅱ)若直线与轴的交点为,当取得最小值时,求曲线和的方程。
【解】(Ⅰ)设点的坐标为,
由得:
则,∴…………2′
由得,∴ …………4′
∴
又∵,,∴.
∴
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