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（14分）已知函数，其中常数。
（1）当时，求函数的单调递增区间；
（2）当时，是否存在实数，使得直线恰为曲线的切线？若存在，求出的值；若不存在，说明理由；
（3）设定义在上的函数的图象在点处的切线方程为，当时，若在内恒成立，则称为函数的“类对称点”。当，试问是否存在“类对称点”？若存在，请至少求出一个“类对称点”的横坐标；若不存在，说明理由．

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(本小题满分13分)
如图，已知椭圆:的离心率为，左焦点为，过点且斜率为的直线交椭圆于两点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）求的取值范围；
（Ⅲ）在轴上，是否存在定点，使恒为定值？若存在，求出点的坐标和这个定值；若不存在，说明理由．

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1．C   2．A    3．A    4．D   5. D   6．B    7. B    8. A    9. B   10．D

11.      12.  2     13.      14.     15.

16．解：（1）∵_，∴，

 ∵，∴, 即边的长度为。

（2）由_，得…………①

     _，即…………②

由①②得，由正弦定理，∴，即证。

17． 解：（1）∵函数的图象的对称轴为要使在区间上为增函数，当且仅当且。

依条件可知试验的全部结果为，即

共15个整点。

所求事件为，即共5个整点，∴所求事件

的概率为。

（2）随机变量的取值有：2，3，4，5，6。的随机分布列为：

2

3

4

5

6

随机变量的期望。

18．解法一：（1）易求，从而，由三垂线定理知：。

（2）法一：易求由勾股定理知，设点在面内的射影为，过作于，连结，则为二面角的平面角。在中由面积法易求，由体积法求得点到面的距离是

，所以，所以求二面角的大小为。

法二：易求由勾股定理知，过作于，又过作交于，连结。则易证为二面角的平面角。在中由面积法易求，从而于是，所以

，在中由余弦定理求得。再在中由余弦定理求得。最后在中由余弦定理求得，所以求二面角的大小为。

（3）设AC与BD交于O，则OF//CM，所以CM//平面FBD，当P点在M或C时，三棱锥P―BFD的体积的最小。。

解法二：空间向量解法，略。

19.解：（1）

当时，

当时，此时函数递减；当时，此时函数递增；当时，取极小值，其极小值为0。

（2）由（1）可知函数和的图像在处有公共点，因此若存在和的分界直线，则该直线过这个公共点。设分界直线的斜率为则直线方程为即由可得当时恒成立

由得。

下面证明当时恒成立。

令则

当时，。当时，此时函数递增；当时，此时函数递减；当时，取极大值，其极大值为0。

从而即恒成立。

函数和存在唯一的分界直线。

20．解：（1）设椭圆的标准方程为，则：

，从而：，故,所以椭圆的标准方程为。

（2）设，则圆方程为,与圆联立消去得的方程为，过定点。

（3）将与椭圆方程联立成方程组消去得：

,设，则。

，

所以。

故存在定点，使恒为定值。

21．解：（1）法一：数学归纳法；

法二：

所以为首项为公比为2的等比数列，

，即证。

法三：，两边同除以，转化为叠加法求数列通项类型。

（2）法一：容易证明单调递增，。由函数割线斜率与中点切线斜率的关系想到先证，即证，即证

。令下证。事实上，构造函数，则

，，所以在上单调递增，故，则，即证。

于是由有，

（因为）。

法二：要证，即证