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    类型Ⅴ:设二次函数ƒ(x)=ax2+bx+c-x=0的两个根x1.x2满足0<x1<x2<. (Ⅰ)当X∈(0,x1)时.证明X<ƒ(x)<x1. 的图象关于直线x=x0对称.证明x0< . 解题思路: 本题要证明的是x<ƒ<x1和x0< .由题中所提供的信息可以联想到:①ƒ(x)=x.说明抛物线与直线y=x在第一象限内有两个不同的交点,②方程ƒ(x)-x=0可变为ax2+(b-1)x+1=0.它的两根为x1,x2.可得到x1,x2与a.b.c之间的关系式.因此解题思路明显有三条①图象法②利用一元二次方程根与系数关系③利用一元二次方程的求根公式.辅之以不等式的推导.现以思路②为例解决这道题: (Ⅰ)先证明x<ƒ=ƒ(x)-x.因为x1,x2是方程ƒ=ax2+bx+c.所以能ƒ(x)=a(x-x1)(x-x2) 因为0<x1<x2,所以,当x∈(0,x1)时, x-x1<0, x-x2<0得(x-x1)(x-x2)>0,又a＞0,因此ƒ-x＞0.至此,证得x<ƒ(x) 根据韦达定理,有 x1x2= ∵ 0＜x1＜x2<.c=ax1x2<x=ƒ(x1), 又c=ƒ<ƒ(x1), 根据二次函数的性质.曲线y=ƒ(x)是开口向上的抛物线.因此.函数y=ƒ(x)在闭区间[0.x1]上的最大值在边界点x=0或x=x1处达到.而且不可能在区间的内部达到.由于ƒ(x1)>ƒ(0).所以当x∈(0,x1)时ƒ(x)<ƒ(x1)=x1. 即x<ƒ(x)<x1 b2 4a =ax2+bx+c=a(x+-)2+ 函数ƒ(x)的图象的对称轴为直线x=- ,且是唯一的一条对称轴.因此.依题意.得x0=-.因为x1,x2是二次方程ax2+(b-1)x+c=0的根.根据违达定理得.x1+x2=-.∵x2-<0. ∴x0=-=(x1+x2-)<,即x0=. 二次函数.它有丰富的内涵和外延.作为最基本的幂函数.可以以它为代表来研究函数的性质.可以建立起函数.方程.不等式之间的联系.可以偏拟出层出不穷.灵活多变的数学问题.考查学生的数学基础知识和综合数学素质.特别是能从解答的深入程度中.区分出学生运用数学知识和思想方法解决数学问题的能力. 二次函数的内容涉及很广.本文只讨论至此.希望各位同仁在高中数学教学中也多关注这方面知识.使我们对它的研究更深入. 【查看更多】

     

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