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    54．恒成立不等式问题通常解决的方法:借助相应函数的单调性求解.其主要技巧有数形结合法.分离变量法.换元法. 【查看更多】

     

    题目列表(包括答案和解析)

    已知函数．

    （Ⅰ）求函数的单调区间；

    （Ⅱ）设，若对任意，，不等式 恒成立，求实数的取值范围．

    【解析】第一问利用的定义域是     

    由x>0及 得1<x<3；由x>0及得0<x<1或x>3，

    故函数的单调递增区间是（1,3）；单调递减区间是

    第二问中，若对任意不等式恒成立，问题等价于只需研究最值即可。

    解： （I）的定义域是     ．．．．．．1分

                  ．．．．．．．．．．．．． 2分

    由x>0及 得1<x<3；由x>0及得0<x<1或x>3，

    故函数的单调递增区间是（1,3）；单调递减区间是     ．．．．．．．．4分

    （II）若对任意不等式恒成立，

    问题等价于，                   ．．．．．．．．．5分

    由（I）可知，在上，x=1是函数极小值点，这个极小值是唯一的极值点，

    故也是最小值点，所以；            ．．．．．．．．．．．．6分

    当b<1时，；

    当时，；

    当b>2时，；             ．．．．．．．．．．．．8分

    问题等价于 ．．．．．．．．11分

    解得b<1 或 或    即，所以实数b的取值范围是 

     

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    三个同学对问题“关于x的不等式x2+25+|x3-5x2|≥ax在[1，12]上恒成立，求实数a的取值范围”提出各自的解题思路．
    甲说：“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值”．
    乙说：“把不等式变形为左边含变量x的函数，右边仅含常数，求函数的最值”．
    丙说：“把不等式两边看成关于x的函数，作出函数图象”．
    参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，即a的取值范围是
     
    ．

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    已知函数f(x)=log4(4x+1)+kx（k∈R）是偶函数．
    （1）求k的值；
    （2）定理：函数g(x)=ax+
    b
    x
    （a、b是正常数）在区间(0，
    b
    a
    )    上为减函数，在区间(
    b
    a
    ，+∞)    上为增函数．参考该定理，解决下面问题：是否存在实数m同时满足以下两个条件：①不等式f(x)-
    m
    2
    ＞0    恒成立；②方程f（x）-m=0有解．若存在，试求出实数m的取值范围，若不存在，请说明理由．

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    三位同学合作学习，对问题“已知不等式xy≤ax2+2y2对于x∈[1，2]，y∈[2，3]恒成立，求a的取值范围”提出了各自的解题思路．
    甲说：“可视x为变量，y为常量来分析”．
    乙说：“寻找x与y的关系，再作分析”．
    丙说：“把字母a单独放在一边，再作分析”．
    参考上述思路，或自已的其它解法，可求出实数a的取值范围是（　　）
    A、[-1，6]B、[-1，4）C、[-1，+∞）D、[1，+∞）

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    （1）证明下列命题：
    已知函数f（x）=kx+p及实数m，n（m＜n），若f（m）＞0，f（n）＞0，则对于一切实数x∈（m，n）都有f（x）＞0．
    （2）利用（1）的结论解决下列各问题：
    ①若对于-6≤x≤4，不等式2x+20＞k2x+16k恒成立，求实数k的取值范围．
    ②a，b，c∈R，且|a|＜1，|b|＜1，|c|＜1，求证：ab+bc+ca＞-1．

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