题目列表(包括答案和解析)
已知函数.
(Ⅰ)求函数的单调区间;
(Ⅱ)设,若对任意,,不等式 恒成立,求实数的取值范围.
【解析】第一问利用的定义域是
由x>0及 得1<x<3;由x>0及得0<x<1或x>3,
故函数的单调递增区间是(1,3);单调递减区间是
第二问中,若对任意不等式恒成立,问题等价于只需研究最值即可。
解: (I)的定义域是 ......1分
............. 2分
由x>0及 得1<x<3;由x>0及得0<x<1或x>3,
故函数的单调递增区间是(1,3);单调递减区间是 ........4分
(II)若对任意不等式恒成立,
问题等价于, .........5分
由(I)可知,在上,x=1是函数极小值点,这个极小值是唯一的极值点,
故也是最小值点,所以; ............6分
当b<1时,;
当时,;
当b>2时,; ............8分
问题等价于 ........11分
解得b<1 或 或 即,所以实数b的取值范围是
已知过点的动直线与抛物线相交于两点.当直线的斜率是时,.
(1)求抛物线的方程;
(2)设线段的中垂线在轴上的截距为,求的取值范围.
【解析】(1)B,C,当直线的斜率是时,
的方程为,即 (1’)
联立 得, (3’)
由已知 , (4’)
由韦达定理可得G方程为 (5’)
(2)设:,BC中点坐标为 (6’)
得 由得 (8’)
BC中垂线为 (10’)
(11’)
已知函数,数列的项满足: ,(1)试求
(2) 猜想数列的通项,并利用数学归纳法证明.
【解析】第一问中,利用递推关系,
,
第二问中,由(1)猜想得:然后再用数学归纳法分为两步骤证明即可。
解: (1) ,
, …………….7分
(2)由(1)猜想得:
(数学归纳法证明)i) , ,命题成立
ii) 假设时,成立
则时,
综合i),ii) : 成立
对于问题“已知关于的不等式的解集为,解关于的不等式”,现给出如下一种解法:
解:由的解集为,得的解集为,即关于的不等式的解集为,
参考上述解法,若关于的不等式的解集为,
则关于的不等式的解集为 .
对于问题“已知关于x的不等式的解集为(-1,2),解关于x的不等式”,给出如下一种解法:
解:由的解集为(-1,2)得的解为,即关于x的不等式的解集为(-2,1).
参考上述解法,若关于x的不等式的解集为,则关于x的不等式的解集为 ※ .
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