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    二项式定理的应用:二项式定理的主要应用有近似计算.证明整除性问题或求余数.应用其首尾几项进行放缩证明不等式. 如5精确到0.001近似值为 0.990 , (2)被4除所得的余数为 , (3)今天是星期一.10045天后是星期 二 , (4)求证:能被64整除, (5)求证:6. =Ca+ Cab+-+ Cab+-+Cb n∈N.它共有n+1项.其中C叫做二项式系数.Cab叫做二项式的通项.用T表示.即通项为展开式的第r+1项.T＝Cab. 特别提醒:(1)项的系数与二项式系数是不同的两个概念.但当二项式的两个项的系数都为1时.系数就是二项式系数.如在的展开式中.第r+1项的二项式系数为.第r+1项的系数为,而的展开式中的系数就是二项式系数, (2)当n的数值不大时往往借助杨辉三角直接写出各项的二项式系数, (3)审题时要注意区分所求的是项还是第几项?求的是系数还是二项式系数? 如:(1)的展开式中常数项是 , (2)的展开式中的的系数为 , (3)数的末尾连续出现零的个数是 3个 , (4)展开后所得的的多项式中.系数为有理数的项共有 7 项, (5)若的值能被5整除.则的可 取值的个数有 5 个, (6)若二项式按降幂展开后.其第二项不大于第三项.则 的取值范围是 , (7)函数的最大值是 . (2).在二项式定理中.对a,b取不同的值可推出许多常用的式子: =1+Cx+Cx+-+Cx+-+x (2) C+ C+-+ C+-+C=2 (3) C+ C++-= C++-=2 应用“赋值法 可求得二项展开式中各项系数和为.“奇数 项 系数和为.以及“偶数 项 系数和为. 如(1)如果.则 , (2)化简得 (3)已知.则等于 , (4).则+ ＝ , (5)设,则 . (3).杨辉三角: 1 2 1 (a+b) 1 2 1 (a+b) 1 3 3 1 (a+b) 1 4 6 4 1 (a+b) 1 5 10 10 5 1 (a+b) 1 6 15 20 15 6 1 (a+b) 表中除1以外的其余各数都等于它肩上的两个数之和. 当n的数值不大时往往借助杨辉三角直接写出各项的二项式系数. (4).二项式系数的性质: 1)对称性:与首末两端“等距离 的两个二项式系数相等.即 2)增减性与最大值:当r≤时.二项式系数C的值逐渐增大.当r≥时,C的值逐渐减小.且在中间取得最大值.当n为偶数时.中间一项的二项式系数取得最大值. 当n为奇数时.中间两项的二项式系数相等并同时取最大值 如(1)在二项式的展开式中.系数最小的项的系数为 , (2)在的展开式中.第十项是二项式系数最大的项.则＝ 18 . (5).求二项式展开式中的系数绝对值最大的项常先判断系数的绝对值的单调性.求二项式展开式中的系数最大的项在上面的基础上再分析符号. 设第项的系数最大.由不等式组确定.或由来确定. 如求的展开式中.系数的绝对值最大的项和系数最大的项. 【查看更多】

     

    题目列表(包括答案和解析)

    在学习二项式定理时，我们知道杨辉三角中的数具有两个性质：①每一行中的二项式系数是“对称”的，即第1项与最后一项的二项式系数相等，第2项与倒数第2项的二项式系数相等，……；②图中每行两端都是1，而且除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和．我们也知道，性质①对应于组合数的一个性质：．

    (1)试写出性质②所对应的组合数的另一个性质；

    (2)请利用组合数的计算公式对(1)中组合数的另一个性质作出证明．

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    （本题共2小题，第一小题4分，第二小题8分，共12分）

    在学习二项式定理时，我们知道杨辉三角中的数具有两个性质：① 每一行中的二项式系数是“对称”的，即第1项与最后一项的二项式系数相等，第2项与倒数第2项的二项式系数相等，；② 图中每行两端都是1，而且除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和．我们也知道，性质①对应于组合数的一个性质：．

    （1）试写出性质②所对应的组合数的另一个性质；

    （2）请利用组合数的计算公式对（1）中组合数的另一个性质作出证明．

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    我们知道，对一个量用两种方法分别算一次，由结果相同可以构造等式，这是一种非常有用的思想方法--“算两次”（G．Fubini原理），如小学有列方程解应用题，中学有等积法求高…
    请结合二项式定理，利用等式（1+x）n•（1+x）n=（1+x）2n（n∈N*）
    证明：
    （1）
    n
    r=0
    (
    C
    r
    n
    )2=
    C
    n
    2n
    ；  
    （2）
    m
    r=0
    (
    C
    r
    n
    C
    m-r
    n
    )=
    C
    m
    2n
    ．

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    我们知道，对一个量用两种方法分别算一次，由结果相同可以构造等式，这是一种非常有用的思想方法--“算两次”（G．Fubini原理），如小学有列方程解应用题，中学有等积法求高…
    请结合二项式定理，利用等式（1+x）n•（1+x）n=（1+x）2n（n∈N*）
    证明：
    （1）；  
    （2）．

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    在学习二项式定理时，我们知道杨辉三角中的数具有两个性质：①每一行中的二项式系数是“对称”的，即第1项与最后一项的二项式系数相等，第2项与倒数第2项的二项式系数相等，…；②图中每行两端都是1，而且除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和．我们也知道，性质①对应于组合数的一个性质：cnm=Cnn-m．
    （1）试写出性质②所对应的组合数的另一个性质；
    （2）请利用组合数的计算公式对（1）中组合数的另一个性质作出证明．

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