题目列表(包括答案和解析)
异面直线AB、CD与三个平行平面α、β、g 分别交于A、E、B及C、G、D；AD、CB与平面β分别交于F、H．求证：EFGH是平行四边形．
a、b是异面直线，下面四个命题：
①过a至少有一个平面平行于b；②过a至少有一个平面垂直于b；③至少有一条直线与a、b都垂直；④至少有一个平面分别与a、b都平行，其中正确命题的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
直线
异面， 
∥平面
，则对于下列论断正确的是（ ）
①一定存在平面使
；②一定存在平面使
∥；③一定存在平面使
；④一定存在无数个平面与
交于一定点.
| A．①④ | B．②③ | C．①②③ | D．②③④ |
一、选择题（每小题5分，共60分）
1.D 2.A 3.D 4.D 5.A 6.C 7.B 8.B 9.C 10.A 11.C 12.B
二、填空题（每小题5分，共20分）
13.2 14.
15.
16.③④
三、解答题（共70分）
17．（本小题满分10分）
解：（Ⅰ）由
可得：
又
.
--------------------------------5分
（Ⅱ）
，
.
---------------------------------10分
18．（本小题满分12分）
解： 设A队得分为2分的事件为
,
（Ⅰ）∴
.
------------------4分
（Ⅱ）设A队得分不少于2分的事件为M , B队得分不多于2分的事件为N,
由（Ⅰ）得A队得分为2分的事件为, A队得分为3分的事件为
,
B队得分为3分的事件为
,
∴
- ----------------- 9分
.
------------------ 12分
19．（本小题满分12分）
解法一、
（Ⅰ）连结
交
于点O，
∵
平面
，平面
∩平面
∴
又∵
是
的中点
∴ 
是
的中点.
------------------6分
（Ⅱ）作
，垂足为
，连结
面
平面
∴
是在平面上的射影
∴
∴
是二面角
的平面角
∵
，
在直角三角形
中，
，
二面角
的大小为
. ------------------12分
解法二、
（Ⅰ）建立如图所示空间坐标系
则
, 
平面
的法向量为
由
得
,
平面
,
.
所以点是棱的中点.
（Ⅱ）平面
的法向量
，设平面的法向量为
. 则
二面角的大小为.
20．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由
得：
，所以等差数列
的通项公式为
. ------------------------4分
（Ⅱ）由
得:
从而
故数列
是单调递增的数列，又因
是中的最小项，要使
恒成立，
则只需
成立即可，由此解得
，由于
∈
,
故适合条件的的最大值为1. ------------------------12分
21．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）
, 
是奇函数,其图象关于原点对称，
所以函数图象的对称中心
即为
.
-----------------2分
,其图象顶点坐标为
所以函数
图象的对称中心与导函数
图象的顶点横坐标相同. -----------------4分
（Ⅱ）令
得
.
当
变化时,
变化情况如下表:
0
0
极大值
极小值
时,有极大值2，
,曲线
在点
处的切线的斜率
.
直线
的方程为
-----------------6分
曲线在点
处的切线的斜率
.
直线
的方程为
又曲线在点处的切线的斜率
.
直线
的方程为
.
联立直线的方程与直线的方程, 
，解得
，
.-----------------10分
联立直线的方程与直线的方程, 
，解得
,
.
,
所以
. -----------------12分
图象如右：
22．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）过点
作
垂直直线
于点
依题意得：
，
所以动点的轨迹为是以
为焦点，直线为准线的抛物线，
即曲线
的方程是
---------------------4分
（Ⅱ）解法一：设
、
、
，则
由
知，
， ∴
，
又∵切线AQ的方程为：
，注意到
切线AQ的方程可化为：
，
由在切线AQ上， ∴
所以点在直线
上；
同理，由切线BQ的方程可得：
.
所以点在直线上；
可知，直线AB的方程为：，
即直线AB的方程为：
，
∴直线AB必过定点.
------------------------12分
（Ⅱ）解法二：设，切点的坐标为
，则
由知，，得切线方程：
.
即为：
，又∵在切线上，
所以可得：
，解之得：
.
所以切点
，
∴
.
故直线AB的方程为：
化简得：
即直线AB的方程为：
∴直线AB必过定点.
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