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    ⑴平面向量基本定理:如果是同一平面内两个不共线的向量,那么对于这个平面内任一向量,有且只有一对实数,使.称为的线性组合. ①其中叫做表示这一平面内所有向量的基底; ②平面内任一向量都可以沿两个不共线向量的方向分解为两个向量的和,并且这种分解是唯一的. 这说明如果且,那么. ③当基底是两个互相垂直的单位向量时,就建立了平面直角坐标系,因此平面向量基本定理实际上是平面向量坐标表示的基础. 向量的 概念及运算 向量坐标与点坐标的关系:当向量起点在原点时.定义向量坐标为终点坐标. 即若A(x.y).则=(x,y),当向量起点不在原点时.向量坐标为终点坐标减去起点坐标.即若A(x1,y1).B(x2,y2).则=(x2-x1,y2-y1) ⑵两个向量平行的充要条件 符号语言: 坐标语言为:设非零向量,则∥(x1,y1)=λ(x2,y2). 即,或x1y2-x2y1=0, 在这里,实数λ是唯一存在的,当与同向时,λ>0,当与异向时,λ<0.|λ|=,λ的大小由及的大小确定.因此,当,确定时.λ的符号与大小就确定了.这就是实数乘向量中λ的几何意义. ⑶两个向量垂直的充要条件 符号语言: 坐标语言:设非零向量.则 ⑷两个向量数量积的重要性质: ① 即 ; ②; ③ . 以上结论可以有效地分析有关垂直.长度.角度等问题,由此可以看到向量知识的重要价值. 注:①两向量,的数量积运算结果是一个数(其中),这个数的大小与两个向量的长度及其夹角的余弦有关. ②叫做向量在方向上的投影. 数量积的几何意义是数量积等于的模与在方向上的投影的积. ③如果,,则=, ∴,这就是平面内两点间的距离公式. 向量的 概念及运算 例1．在中.( ) 例2.平面内三点,若∥.则x的值为( ) -1 5 向量的 概念及运算 例3. 设.. 是任意的非零平面向量.且相互不共线.则: ①(·)(·)=0 ②||-||<|| ③(·)(·)不与垂直 ④(3+2)·(32)=9||2- 4|2中. 真命题是②③ ②④ 例4. △OAB中,=,=,=,若=.t∈R.则点P在( ) (A)∠AOB平分线所在直线上 (B)线段AB中垂线上 (C)AB边所在直线上 (D)AB边的中线上 例5. 正方形对角线交点为M.坐标原点O不在正方形内部.且=(0.3).=(4.0).则=( ) (A)() (B)() () 例6.已知,则实数x= . 例7.已知则 , ,与的夹角的余弦值是 . 例8. 已知的三个顶点分别为求的大小. 例9. 已知△ABC中.A.BC边上的高为AD.求点D和向量坐标. 例10.在△OAB的边OA.OB上分别取点M.N.使||∶||=1∶3.||∶||=1∶4.设线段AN与BM交于点P.记= .=.用 .表示向量. 定比分点 线段的定比分点 1.定义:设是直线上的两点,点P是上不同于的任意一点,则存在一个实数使,叫做点P分有向线段所成的比. ①P在线段上,P为内分点时,; ②P在线段或的延长线上, P为外分点时,. ③内分取 “+ , 外分取 “一 . 2. 定比分点坐标公式: 设... 则: , 特殊地.得中点坐标公式: 另外.注意一下定比分点的向量公式: O为平面内任意一点. 则. 有时直接运用它来考虑更简便! 3. 三角形重心公式及推导: 三角形重心公式: 例11.点A(m,n)关于点B(a,b)对称点的坐标是( ) (A)(-m.-n) (B)(a-m.b-n) (C)(a-2m.b-2n) (D)(2a-m.2b-n) 例12．设.直线AB交轴于C点.则点C分所成的比为() 平移 1.图形平移:设F是坐标平面内的一个图形.将F上所有的点按照同一方向移动同样长度(即按向量平移).得到图形F`.我们把这一过程叫做图形的平移. 2.平移公式:点按 向量平移到 则 其中叫做平移向量. 3. ⑴设曲线C:y=f(x)按=(h.k)平移.则平移后曲线对应的解析式为,当h.k中有一个为零时.就是前面已经研究过的左右及上下平移. 注:函数图象平移口诀:左加右减,上加下减. 注意这里是指函数解析式的变化,另外注意顺序性. 例13.设向量,则将按平移得到的坐标表示为( ) 例14.若将曲线C1:平移到C2,使得曲线C1上一点P的坐标由,则C2的方程是( ) (A)(B) (C)(D) 例15. 把函数的图象按平移后得到的函数解析式为­­­ . 解三角形 解斜三角形: 常用的主要结论有: (1)A+B+C=1800 ⑵任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边. ⑶等边对等角:; 大边对大角:. ⑷底×高=(其中是内切圆半径) ⑸ ⑹ 解三角形 例16.在中,,则a等于( ) (A) (B) (C) (D) 例17.在200米高的山顶上,测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为300,600,则塔高为( ) (A)米 (B)米 (C)米 (D)米 例18．在中..,若这个三角形有两解.则的取值范围是( ) 数学基础知识与典型例题答案 例1A.例2.C.例3.D.例4.A.例5.A.例6.6.例7.,,.例8. 例9. 解:设D(x.y).则=(x-2.y+1) ∵=.·=0,∴-6(x-2)-3(y+1)=0.即2x+y-3=0① ∵=(x-3.y-2).∥,∴-6(y-2)=-3(x-3).即x-2y+1=0② 由①②得:,∴D(1.1),= 例10. 解:∵ B.P.M共线∴ 记=s ∴ ① 同理.记∴ =② ∵ ,不共线∴ 由①②得解之得:∴ 注:从点共线转化为向量共线.进而引入参数是常用技巧之一.平面向量基本定理是向量重要定理之一.利用该定理唯一性的性质得到关于s.t的方程. 例11.D. 例12.B. 例13.C . 例14.A . 例15.. 例16.C. 例17.A . 例18.C. 【查看更多】

     

    题目列表(包括答案和解析)

    平面向量基本定理:如果e1、e2是同一平面内的两个　　　　　向量,那么对这一平面内的任一向量a,　　　　一对实数λ1、λ2,使　　　　　,其中e1、e2是　　　　　.

          

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    类比平面向量基本定理：“如果e1，e2是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使得a＝λ1e1＋λ2e2”，写出空间向量基本定理是：________．

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