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    (或)的参数方程为(或)(为参数). 抛物线 例21. 顶点在原点.焦点是的抛物线方程是( ) (A)x2=8y (B)x2= -8y (C)y2=8x (D)y2= -8x 例22. 抛物线上的一点到焦点的距离为1.则点的纵坐标是( ) (A) (B) (C) (D)0 例23.过点P(0,1)与抛物线y2=x有且只有一个交点的直线有( ) (A)4条 2条 (D)1条 例24. 过抛物线(a>0)的焦点F作一直线交抛物线于P.Q两点.若线段PF与FQ的长分别为p.q.则等于( ) (A)2a (B) (C) (D) 例25. 若点A的坐标为(3.2).F为抛物线y2=2x的焦点.点P在抛物线上移动.为使|PA|+|PF|取最小值.P点的坐标为( ) (A) (C)(.1) 例26. 动圆M过点F(0.2)且与直线y=-2相切.则圆心M的轨迹方程是 . 例27. 过抛物线y2＝2px的焦点的一条直线和抛物线交于两点.设这两点的纵坐标为y1.y2.则y1y2＝ . 例28. 以抛物线的焦点为圆心.通径长为半径的圆的方程是 . 例29. 过点的直线l与抛物线y2=6x有公共点.则直线l的倾斜角的范围是 . 例30设是一常数.过点的直线与抛物线交于相异两点A.B.以线段AB为直经作圆H. (Ⅰ)试证:抛物线顶点在圆H的圆周上, (Ⅱ)求圆H的面积最小时直线AB的方程. 轨迹 问题 上一章已经复习过解析几何的基本问题之一: 如何求曲线方程,它一般分为两类基本题型:一是已知轨迹类型求其方程.常用待定系数法.如求直线及圆的方程就是典型例题,二是未知轨迹类型.此时除了用代入法.交轨法.参数法等求轨迹的方法外.通常设法利用已知轨迹的定义解题.化归为求已知轨迹类型的轨迹方程. 因此在求动点轨迹方程的过程中.一是寻找与动点坐标有关的方程.侧重于数的运算.一是寻找与动点有关的几何条件.侧重于形.重视图形几何性质的运用. 求轨迹方程的一般步骤:建.设.现(限).代.化. 轨迹方程 例31. 已知两点M.点P满足=12.则点P的轨迹方程为( ) 例32.⊙O1与⊙O2的半径分别为1和2.|O1O2|=4.动圆与⊙O1内切而与⊙O2外切.则动圆圆心轨迹是( ) 抛物线 双曲线的一支 例33. 动点P在抛物线y2=-6x上运动,定点A(0,1),线段PA中点的轨迹方程是( ) (A)(2y+1)2=-12x(B)(2y+1)2=12x (C)(2y-1)2=-12x(D)(2y-1)2=12x 例34. 过点(2.0)与圆相内切的圆的圆心的轨迹是( ) 双曲线 圆 例35. 已知的周长是16..B则动点的轨迹方程是( ) (A)(B) (C) (D) 例36. 椭圆中斜率为的平行弦中点的轨迹方程为 . 例37. 已知动圆P与定圆C: (x+2)+y＝1相外切.又与定直线l:x＝1相切,那么动圆的圆心P的轨迹方程是 . 例38. 在直角坐标系中,,则点的轨迹方程是 . 圆锥曲线综合问题 直线与圆锥曲线的位置关系 ⑴直线与圆锥曲线的位置关系和判定 直线与圆锥曲线的位置关系有三种情况:相交.相切.相离. 直线方程是二元一次方程,圆锥曲线方程是二元二次方程,由它们组成的方程组,经过消元得到一个一元二次方程,直线和圆锥曲线相交.相切.相离的充分必要条件分别是... ⑵直线与圆锥曲线相交所得的弦长 直线具有斜率,直线与圆锥曲线的两个交点坐标分别为,则它的弦长 注:实质上是由两点间距离公式推导出来的,只是用了交点坐标设而不求的技巧而已(因为.运用韦达定理来进行计算. 当直线斜率不存在是,则. 注: 1.圆锥曲线.一要重视定义.这是学好圆锥曲线最重要的思想方法.二要数形结合.既熟练掌握方程组理论.又关注图形的几何性质.以简化运算. 2.当涉及到弦的中点时.通常有两种处理方法:一是韦达定理,二是点差法. 3.圆锥曲线中参数取值范围问题通常从两个途径思考:一是建立函数.用求值域的方法求范围,二是建立不等式.通过解不等式求范围. 圆锥曲线综合问题 例39. AB为过椭圆=1中心的弦.F(c.0)为椭圆的右焦点.则△AFB的面积最大值是( ) (A)b2 (B)ab (C)ac (D)bc 例40. 若直线y＝kx+2与双曲线的右支交于不同的两点.则k的取值范围是( ) , , , , 例41.若双曲线x2-y2=1右支上一点P(a, b)到直线y=x的距离为.则a+b的值是( ). 或 (D)2或-2 圆锥曲线综合问题 例42.抛物线y=x2上的点到直线2x- y =4的距离最近的点的坐标是( ) ) () 例43. 抛物线y2=4x截直线所得弦长为3.则k的值是( ) (A)2 4 (D)-4 例44. 把曲线按向量平移后得曲线.曲线有一条准线方程为.则的值为( ) 例45.如果直线与双曲线没有交点.则的取值范围是 . 例46. 已知抛物线上两点关于直线对称.且.那么m的值为 . 例47. 以双曲线-y2=1左焦点F.左准线l为相应焦点.准线的椭圆截直线y=kx+3所得弦恰被x轴平分.则k的取值范围是 . 例48. 双曲线3x2-y2=1上是否存在关于直线y=2x对称的两点A.B?若存在.试求出A.B两点的坐标,若不存在.说明理由. 数学基础知识与典型例题答案 例1. D 例2. B 例3. C 先考虑M+m=2a.然后用验证法. 例4. B提示:e=,P点到左准线的距离为2.5.它到左焦点的距离是2. 2a=10, P点到右焦点的距离是8.∴P点到右焦点的距离与到左焦点的距离之比是4 : 1; 例5. B∵.∴. 例6. C提示:椭圆3x2+4y2=48中.a=4, c=2, e=, 设椭圆上的P点到右准线的距离为d.则=, ∴|AP|+2|PF|=|AP|+d, ∴当AP平行于x轴且P点在A点与右准线之间时.|AP|+d为一直线段.距离最小.此时P点纵坐标等于.∴P点坐标是(2, ) 例7. (3,4) 或(-3, 4) 例8. (1)或; (2) ; (3)或; (4) 或. 例9. ≤ 例10. 解:设椭圆方程为+=1,(a>b>0) ⑴PQ⊥x轴时.F(-c,0).|FP|=.又|FQ|=|FP|且OP⊥OQ.∴|OF|=|FP|,即c=∴ac=a2-c2,∴e2+e-1=0,∴e=与题设e=不符,所以PQ不垂直x轴. ⑵PQ∶y=k(x+c),P(x1,y1),Q(x2,y2),∵e=,∴a2=c2,b2=c2, 所以椭圆方程可化为:3x2+12y2-4c2=0,将PQ方程代入. 得(3+12k2)x2+24k2cx+12k2c2-4c2=0,∴x1+x2=,x1x2= 由|PQ|=得·=① ∵OP⊥OQ,∴·= -1即x1x2+y1y2=0,∴(1+k2)x1x2+k2c(x1+x2)+c2k2=0② 把.代入.解②得k2=.把代入①解得c2=3 ∴a2=4,b2=1.则所求椭圆方程为+y2=1. 例11. B 例12. C 例13. D 例14. C 例15. C 例16. A假设,由双曲线定义且, 解得而由勾股定理得 [点评]考查双曲线定义和方程思想. 例17. 例18. 例19.⑴设双曲线方程为,∴ ∴ , ∴ 双曲线方程为;⑵设双曲线方程为∴ ,解之得k=4,∴ 双曲线方程为 评注:与双曲线共渐近线的双曲线方程为.当λ>0时.焦点在x轴上,当λ<0时.焦点在y轴上.与双曲线共焦点的双曲线为(a2+k>0.b2-k>0).比较上述两种解法可知.引入适当的参数可以提高解题质量.特别是充分利用含参数方程的几何意义.可以更准确地理解解析几何的基本思想. 例20. 解题思路分析: 法一:显然AB斜率存在设AB:y-2=k(x-1) 由得:(2-k2)x2-2k(2-k)x-k2+4k-6=0 当△>0时.设A(x1,y1).B(x2,y2) 则∴ k=1.满足△>0∴ 直线AB:y=x+1 法二:设A(x1,y1).B(x2,y2)则两式相减得:(x1-x2)(x1+x2)=(y1-y2)(y1+y2) ∵ x1≠x2∴ ∴ ∴ AB:y=x+1代入得:△>0 评注:法一为韦达定理法.法二称为点差法.当涉及到弦的中点时.常用这两种途径处理.在利用点差法时.必须检验条件△>0是否成立. (2)此类探索性命题通常肯定满足条件的结论存在.然后求出该结论.并检验是否满足所有条件.本题应着重分析圆的几何性质.以定圆心和定半径这两定为中心 设A.B.C.D共圆于⊙OM.因AB为弦.故M在AB垂直平分线即CD上,又CD为弦.故圆心M为CD中点.因此只需证CD中点M满足|MA|=|MB|=|MC|=|MD| 由得:A又CD方程:y=-x+3 由得:x2+6x-11=0设C(x3,y3).D(x4,y4).CD中点M(x0,y0) 则∴ M ∴ |MC|=|MD|=|CD|=又|MA|=|MB|=∴ |MA|=|MB|=|MC|=|MD| ∴ A.B.C.D在以CD中点.M为圆心.为半径的圆上 评注:充分分析平面图形的几何性质可以使解题思路更清晰.在复习中必须引起足够重视. 例21. B() 例22. B 例23. B(过P可作抛物线的切线两条.还有一条与x轴平行的直线也满足要求.) 例24. C作为选择题可采用特殊值法,取过焦点.且垂直于对称轴的直线与抛物线相交所形成线段分别为p,q. 则p=q=|FK|, 例25. 解析:运用抛物线的准线性质.答案:B 例26. x2=8y 例27. -p2 例28. 例29. 例30. 解:由题意.直线AB不能是水平线. 故可设直线方程为:. 又设.则其坐标满足消去x得 由此得∴ 因此,即. 故O必在圆H的圆周上. 又由题意圆心H()是AB的中点. 故由前已证 OH应是圆H的半径. 且.从而当k=0时.圆H的半径最小.亦使圆H的面积最小.此时.直线AB的方程为:x=2p. 注:1.解决直线和圆锥曲线的位置关系问题.一般方法是联立方程组.消元得一元二次方程.必须讨论二次项系数和判别式△.利用韦达定理寻找两根之和与两根之积之间的关系．求解有时借助图形的几何性质更为简洁．此题设直线方程为x=ky+2p,因为直线过x轴上是点Q.通常可以这样设.可避免对直线的斜率是否存在讨论．2．凡涉及弦的中点及中点弦问题.利用平方差法,涉及垂直关系往往也是利用韦达定理.设而不求简化运算．3．在引入点参数(本题中以AB弦的两个端点的坐标作为主参数)时.应尽量减少参数的个数.以便减少运算量．由OA⊥OB得x1x2+y1y2=O这个关系对于解决此类问题十分有用．4．列出目标函数.|OH|=P.运用函数思想解决解析几何中的最值问题是解决此类问题的基本思路.也可利用基本不等式a2+b2≥2ab当且仅当a=b时“= 成立求解． 例31. B 例32. D 例33. C 例34. A例35. B 例36. 9x+16y=0 (椭圆内部分 例37. y2＝-8x 例38. 例39. 解析:∵S△AFB=2S△AOF.∴当点A位于短轴顶点处面积最大.答案:D 例40. D41. B 42. B 数形结合估算出D 例43. D 例40. C∵由已知得曲线的准线为,∴焦点在轴上且,, ∴,∴ 例45.k< 例46. 例47. (0.) 例48. 解:设AB:y=-x+m,代入双曲线方程得11x2+4mx-4(m2+1)=0, 这里△=(4m)2-4×11［-4(m2+1)］=16(2m2+11)＞0恒成立. 设A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点为M(x0,y0),则x1+x2=-.∴x0=-,y0=-x0+m=, 若A.B关于直线y=2x对称.则M必在直线y=2x上. ∴=-得m=1.由双曲线的对称性知.直线y=-x与双曲线的交点的A.B必关于直线y=2x对称. ∴存在A.B且求得A(.-).B(-.) 【查看更多】

     

    题目列表(包括答案和解析)

    （三选一，考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）
    （1）（坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系中圆C的参数方程为
    x=1+2cosθ
    y=
    		3
    +2sinθ
    （θ为参数），则圆C的普通方程为
    (x-1)2+(y-
    		3
    )2=4
    (x-1)2+(y-
    		3
    )2=4
    ．
    （2）（不等式选讲选做题）设函数f（x）=|2x+1|-|x-4|，则不等式f（x）＞2的解集为
    {x|x＜-7或x＞
    5
    3
    }
    {x|x＜-7或x＞
    5
    3
    }
    ．
    （3）（几何证明选讲选做题） 如图所示，等腰三角形ABC的底边AC长为6，其外接圆的半径长为5，则三角形ABC的面积是
    3
    3
    ．

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    精英家教网选做题本题包括A，B，C，D四小题，请选定其中 两题 作答，每小题10分，共计20分，
    解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
    A选修4-1：几何证明选讲
    自圆O外一点P引圆的一条切线PA，切点为A，M为PA的中点，过点M引圆O的割线交该圆于B、C两点，且∠BMP=100°，∠BPC=40°，求∠MPB的大小．
    B选修4-2：矩阵与变换
    已知二阶矩阵A=
    ab
    cd
    ，矩阵A属于特征值λ1=-1的一个特征向量为α1=
    1
    -1
    ，属于特征值λ2=4的一个特征向量为α2=
    3
    2
    ．求矩阵A．
    C选修4-4：坐标系与参数方程
    在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C的参数方程为
    x=2cosα
    y=sinα
    (α为参数)    ．以直角坐标系原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos(θ-
    π
    4
    )=2
    		2
    ．点
    P为曲线C上的动点，求点P到直线l距离的最大值．
    D选修4-5：不等式选讲
    若正数a，b，c满足a+b+c=1，求
    1
    3a+2
    +
    1
    3b+2
    +
    1
    3c+2
    的最小值．

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    （选做题）在A，B，C，D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
    A．选修4-1：几何证明选讲
    如图，⊙O的半径OB垂直于直径AC，M为AO上一点，BM的延长线交⊙O于N，过
    N点的切线交CA的延长线于P．
    （1）求证：PM2=PA•PC；
    （2）若⊙O的半径为2
    		3
    ，OA=
    		3
    OM，求MN的长．
    B．选修4-2：矩阵与变换
    曲线x2+4xy+2y2=1在二阶矩阵M=
    .
    1a
    b1
    .
    的作用下变换为曲线x2-2y2=1，求实数a，b的值；
    C．选修4-4：坐标系与参数方程
    在极坐标系中，圆C的极坐标方程为ρ=
    		2
    cos(θ+
    π
    4
    )    ，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为
    x=1+
    4
    5
    t 
    y=-1-
    3
    5
    t 
    （t为参数），求直线l被圆C所截得的弦长．
    D．选修4-5：不等式选讲
    设a，b，c均为正实数．
    （1）若a+b+c=1，求a2+b2+c2的最小值；
    （2）求证：
    1
    2a
    +
    1
    2b
    +
    1
    2c
    ≥
    1
    b+c
    +
    1
    c+a
    +
    1
    a+b
    ．

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    （2012•徐州模拟）本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在答题卡指定区域内作答，
    若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
    A．选修4-1：几何证明选讲
    如图，半径分别为R，r（R＞r＞0）的两圆⊙O，⊙O1内切于点T，P是外圆⊙O上任意一点，连PT交⊙O1于点M，PN与内圆⊙O1相切，切点为N．求证：PN：PM为定值．
    B．选修4-2：矩阵与变换
    已知矩阵M=
    21
    34

    （1）求矩阵M的逆矩阵；
    （2）求矩阵M的特征值及特征向量；
    C．选修4-2：矩阵与变换
    在平面直角坐标系x0y中，求圆C的参数方程为
    x=-1+rcosθ
    y=rsinθ
    (θ    为参数r＞0），以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos(θ+
    π
    4
    )=2
    		2
    ．若直线l与圆C相切，求r的值．
    D．选修4-5：不等式选讲
    已知实数a，b，c满足a＞b＞c，且a+b+c=1，a2+b2+c2=1，求证：1＜a+b＜
    4
    3
    ．

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    （选做题）在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答卷纸指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
    （B）（选修4-2：矩阵与变换）
    二阶矩阵M有特征值λ=8，其对应的一个特征向量e=
    1
    1
    ，并且矩阵M对应的变换将点（-1，2）变换成点（-2，4），求矩阵M2．
    （C）（选修4-4：坐标系与参数方程）
    已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点，极轴与x轴的正半轴重合，曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ+3ρ2sin2θ=3，直线l的参数方程为
    x=-
    		3
    t
    y=1+t
    （t为参数，t∈R）．试在曲线C上一点M，使它到直线l的距离最大．

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