[例1] 平面外有两点A,B.它们与平面的距离分别为a,b.线段AB上有一点P.且AP:PB=m:n.则点P到平面的距离为 . 错解:. 错因:只考虑AB在平面同侧的情形.忽略AB在平面两测的情况. 正解: . [例2]与空间四边形ABCD四个顶点距离相等的平面共有个. 错解:4个. 错因:只分1个点与3个点在平面两侧.没有考虑2个点与2个点在平面两侧. 正解:7个. [例3]一个盛满水的三棱锥形容器.不久发现三条侧棱上各有一个小洞D.E.F.且知SD:DA=SE:EB=CF:FS=2:1.若仍用这个容器盛水.则最多可盛原来水的 A. B. C. D. 错解:A.B.C.由过D或E作面ABC的平行面.所截体计算而得. 正解:D. 当平面EFD处于水平位置时.容器盛水最多最多可盛原来水得1- [例4]斜三棱柱ABC-A1B1C1的底面是边长为a的正三角形.侧棱长等于b.一条侧棱AA1与底面相邻两边AB.AC都成450角.求这个三棱柱的侧面积. 错解:一是不给出任何证明.直接计算得结果,二是作直截面的方法不当.即“过BC作平面与AA1垂直于M ,三是由条件“∠A1AB=∠A1AC∠AA1在底面ABC上的射影是∠BAC的平分线不给出论证. 正解:过点B作BM⊥AA1于M.连结CM.在△ABM和△ACM中.∵AB=AC.∠MAB=∠MAC=450.MA为公共边.∴△ABM≌△ACM.∴∠AMC=∠AMB=900.∴AA1⊥面BHC.即平面BMC为直截面.又BM=CM=ABsin450=a.∴BMC周长为2xa+a=(1+)a.且棱长为b.∴S侧=(1+)ab [例5]已知CA⊥平面α.垂足为A,AB α.BD⊥AB.且BD与α成30°角,AC=BD=b.AB=a.求C.D两点间的距离. 解 : 本题应分两种情况讨论: (1)如下左图.C.D在α同侧:过D作DF⊥α.垂足为F.连BF.则于是. 根据三垂线定理BD⊥AB得BF⊥AB. 在Rt△ABF中.AF= 过D作DEAC于E.则DE=AF.AE=DF=.所以EC=AC-AE= b-=.故 CD= (2)如上右图.C.D在α两侧时:同法可求得CD= 点评: 本题是通过把已知量与未知量归结到一个直角三角形中.应用勾股定理来求解. [例6]如图.在棱长为1的正方体中.是侧棱上的一点.. (1)试确定.使得直线与平面所成角的正切值为, (2)在线段上是否存在一个定点.使得对任意的.在平面上的射影垂直于. 并证明你的结论. 解:解法一(1)连AC.设AC与BD相交于点O,AP与平面相交于点.,连结OG.因为 PC∥平面.平面∩平面APC＝OG, 故OG∥PC.所以.OG＝PC＝. 又AO⊥BD,AO⊥BB1.所以AO⊥平面. 故∠AGO是AP与平面所成的角. 在Rt△AOG中.tanAGO＝.即m＝. 所以.当m＝时.直线AP与平面所成的角的正切值为. (2)可以推测.点Q应当是AICI的中点O1.因为 D1O1⊥A1C1, 且 D1O1⊥A1A .所以 D1O1⊥平面ACC1A1. 又AP平面ACC1A1.故 D1O1⊥AP. 那么根据三垂线定理知.D1O1在平面APD1的射影与AP垂直. 解法二:(1)建立如图所示的空间直角坐标系.则A.P.D.B1.D1 所以又由知.为平面的一个法向量. 设AP与平面所成的角为.则.依题意有解得.故当时.直线AP与平面所成的角的正切值为. (2)若在A1C1上存在这样的点Q.设此点的横坐标为.则Q(x.1-.1)..依题意.对任意的m要使D1Q在平面APD1上的射影垂直于AP.等价于D1Q⊥AP即Q为A1C1的中点时.满足题设要求. [例7]在梯形ABCD中.∠ADC=90°.AB∥DC.AB=1.DC=2..P为平面ABCD外一点.PAD是正三角形.且PA⊥AB. 求:(1)平面PBC和平面PAD所成二面角的大小, (2)D点到平面PBC的距离．解: (1)设AD∩BC=E.可知PE是平面PBC和平面PAD的交线.依题设条件得PA=AD=AE.则∠EPD=90°.PD⊥PE 又PA⊥AB.DA⊥AB.故AB⊥平面PAD． ∵ DC∥AB.∴ DC⊥平面PAD．由PE⊥PC得PE⊥PD.∠DPC是平面PBC与平面PAD所成二面角的平面角．.DC=2.tan.． (2)由于PE⊥PD.PE⊥PC.故PE⊥平面PDC. 因此平面PDC⊥平面PBC. 作DH⊥PC.H是垂足.则DH是D到平面PBC的距离．在Rt△PDC中..DC=2..．平面PBC与平面PAD成二面角的大小为arctan.D到平面PBC的距离为. [例8] 半径为1的球面上有A.B.C三点.A与B和A与C的球面距离都是.B与C的球面距离是.求过A.B.C三点的截面到球心O距离．分析 : 转化为以球心O为顶点.△ABC为底面的三棱锥问题解决．由题设知△OBC是边长为1的正三角形.△AOB和△AOC是腰长为1的全等的等腰三角形．取BC中点D.连AD.OD.易得BC⊥面AOD.进而得面AOD⊥面ABC.过O作OH⊥AD于H.则OH⊥面ABC.OH的长即为所求.在Rt中,AD=,故在Rt,OH= 点评: 本题若注意到H是△ABC的外心.可通过解△ABC和△AHO得OH．或利用体积法．【查看更多】

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