题目列表(包括答案和解析)
一、选择题（每小题5分，共60分）
1.A 2.A 3.B 4.D 5.C 6.C 7.B 8.B 9.B 10.D 11.C 12.D
二、填空题（每小题5分，共20分）
13.2 14.
15.
16.③④
三、解答题（共70分）
17. （本小题满分10分）
解：（Ⅰ）由
可得：
又
; ………………………… 5分
（Ⅱ）
，
.
………………………………………… 10分
18．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）设A队得分为2分的事件为
,
∴
………… 4分
（Ⅱ）
的可能取值为3 , 2 , 1 , 0 ;
,
, 
, 
,
0
1
2
3
∴的分布列为:
………… 8分
于是 
, ……………… 9分
∵ 
, ∴ 
……………………… 11分
由于
, 故B队比A队实力较强. ……………………… 12分
19．（本小题满分12分）
解法一
（Ⅰ）连结
，
∵
平面
，平面
∩平面
∴
又∵
是
的中点
∴
是
的中点
∵
∴
，
∴
是二面角
的平面角.
，
在直角三角形
中，
，
………… 6分
（Ⅱ）解：过
作
，垂足为
，连结
，
∵是三角形的中位线，
∴
∵
面
∴
面
∴
，又
∴
平面
为
在平面上的射影，
又∵，由三垂线定理逆定理，得
∴
为二面角
的平面角
∵
，
在直角三角形
中，
，
∴二面角的大小为
. ……………… 12分
解法二：
（Ⅰ）建立如图所示空间坐标系
，则
, 
，
平面
的法向量为
由
得
,
平面
,
.
所以点是棱的中点.
平面
的法向量
，
，
即
（Ⅱ）设平面
的法向量为
，平面
的法向量
，
，
∵二面角
为锐角
∴二面角的大小为
20．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）
的定义域为
.
，令
得:
所以在
内为增函数,在
内为减函数. ……………… 6分
（Ⅱ）由题意得:
, 
为递增函数,
;
为递增函数, 
的取值范围为
.
……………… 12分
21． （本小题满分12分）
解：（Ⅰ）过点
作
垂直直线
于点
依题意得：
，
所以动点的轨迹为是以
为焦点，直线为准线的抛物线，
即曲线
的方程是
………………………4分
（Ⅱ）设
、
，
，则
由
知，
， ∴
，
又∵切线AQ的方程为：
，注意到
切线AQ的方程可化为：
；
由在切线AQ上， ∴
于是在直线
上
同理，由切线BQ的方程可得：
于是在直线上
所以，直线AB的方程为：，
又把
代入上式得：
∴直线AB的方程为：
∴直线AB必过定点
.
………………………12分
（Ⅱ）解法二：设，切点的坐标为
，则
由知，，得切线方程：
即为：
，又∵在切线上，
所以可得：
，又把代入上式得：
，解之得：
∴
，
故直线AB的方程为：
化简得：
∴直线AB的方程为：
∴直线AB必过定点.
22．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由
①
得：
②
①-②得
，
即有
,
数列
是从第二项为
，公比为
的等比数列
即
， ……………………5分
而
满足该式， . ……………………6分
（Ⅱ）
， 
要使
恒成立
恒成立
即
当
为奇数时，
恒成立，而
的最小值为
………………………………………………10分
当为偶数时，
恒成立，而
的最大值为
或
所以，存在
，使得对任意
都有. ……………………………………12分
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